无理数近似值和连分数.docVIP

无理数的近似值与连分数 江苏张家港高级中学 储聪忠 一、从一道题目谈起 设正有理数x是的一个近似值，令. 若，求证：； 求证：y比x更接近于. 解答： 因为，所以； 同理可证：当时，.要证“y比x更接近于”，即证：. 若，根据（1），则，即证，也就是证.考察函数，当时，它是增函数，从而； 若，则，即证，也就是证.因为函数在上是减函数，在上是增函数，所以当时，，即证. 综上所述，证明了y比x更接近于. 另证： 因为，所以. 二、几点说明 若令，则正数； 对于正数，比更接近； 因为，从而 =…， 若去掉后面的小于1的“小尾巴”，即，…它们越来越接近. 用连分数来表示无理数，则有==[1，1，2，1，2，···]； 如何求的连分数表示式呢？事实上，通过下面的步骤： …… 故无理数的连分数为[1,1,2,1,2,···]； 三、连分数的有关概念 一般地，设是一个实数序列，其中，n为自然数，则分数 称为有限连分数；如果是整数，是正整数，则称为有限简单连分数.当时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数.有限连分数记作[a0,a1,a2,…,an]或；无限连分数记作[a0,a1,a2,…]或. 我们知道方程的正根用求根公式可得2.141421.如果我将方程化为，既然与相等，则用替换方程右边的，就得到，这样可以不断地进行下去.若每次舍掉，则得到一连串的分数：，…它们分别是，…，越来越接近.因此的连分数为[2,2,2,···]. 一般来说，有限连分数表示有理数，无限连分数表示无理数；连分数与递归数列有着密切的关系.