导数和函数单调性练习题.docVIP

2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ） A.0a B.a-1或a C.a D.a-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增，∴1-2a0,即a. 2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥0 B．a－4 C．a≥0或a≤－4 D．a0或a 答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋eq \f(a,x)，f(x)在(0,1)上单调， ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立， 所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x),0x1，可知－4g(x)0， ∴a≥0或a≤－4，故选C. 3．函数f(x)＝x＋eq \f(9,x)的单调区间为________． 答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f′(x)＝1－eq \f(9,x2)＝eq \f(x2－9,x2)，令f′(x)0，解得－3x0或0x3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)． 4 函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案： ； 解析： 5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 (1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________． [答案]　(－∞，－1) [解析]　函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－10，得xeq \f(1,2)， ∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1) 7．已知y＝eq \f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________． [答案]　b－1或b2 [解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2. 8.已知x∈R,求证：ex≥x+1． 证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1． ∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0． 当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0． 当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0． 9．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是， 知 故所求的解析式是 （Ⅱ） 解得 当 当 故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围; 解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0, ∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,∴b≥. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取