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一元积分学的概念与计算 一、考试内容 原函数、不定积分、定积分、反常积分的概念　 基本积分公式 牛一莱 (N一L)公式 积分的换元积分法与分部积分法　 有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分　　 定积分的对称奇偶性 分段函数的积分 积分变限函数 原函数存在与可积条件 上的连续函数必有原函数，且在上可积； 内的连续函数必有原函数，但在内不一定可积，如或为暇点； 无界区间内的连续函数必有原函数，但在无界区间内不一定可积； 定义在区间内的函数，若存在第一类间断点或暇点，必无原函数，但也许可积，如定义在上的函数存在有限个第一类间断点，则在上可积. 微积分基本关系 ， 在上连续，则 ， 基本函数的不定积分 ; 重要函数的不定积分术 用拆、凑， 基本函数的定积分与反常积分 二、典型例题 1、计算下列不定积分（拆、凑结合） （1）. 或. （2） . （3）. 或. （4）. （5） . （6）. （7） . （8）. 或. 或. （9） 或. （10）. 例2、计算下列不定积分（换） （1） . （2）. （3）. 或. （4）. （5）. 例3、计算下列不定积分（分） （1） . （2）. （3）. （4）. （5） . （6）， 移项得. 例4、计算下列定积分（换(含对称奇偶性)） （1）设在内的连续函数，则. （2） . （3），得. （4）. （5）. 例5、分段函数的积分 （1）（）. （2）. （3）已知 ，求. 解：. （4）求. 解： . 例6、反常积分 （1）下列哪个积分发散（） （2）. （3）. （4）. 三、微积分综合计算 例1、设且，求 . 解：. 例2、 已知：，且求 解：令，则 ，故 . 例3、已知一个原函数为，求. 解： . 例4、试导出的递推式. 解： . 例5、求极限 . [解]原式===. 例6、设 , 求 . [解] 原式==2. 例7、已知，讨论在处的连续性和可导性. 解： EMBED Equation.3 在处连续， 又其在处不可导. 例8、设，求+. 解：两边求导得，所以（为常数） 又因为当时，所以 . 例9、若满足，（），求. 解：方程两边对求导，得 解得 又，故 . 例10、设是上的单调、可导函数，且， 其中是的反函数，求. 解： 等式两端对求导得 ，即 解得，而则，故. 例11、设为的原函数，当时，有，且，试求 . 解：因即 由知， ， ， . 例12、设在上连续，并满足，求. 解：令，故，则， 解得 ，故 . 例13、设，，求. 解： 因为，所以而，故. 例14、已知 , 计算 . [解] = = (令) . 四、课后练习 1、求下列不定积分 ①；② ； ③；④； ⑤；⑥； ⑦；⑧； ⑨⑩. 2、若，则. 3、. 4、计算下列定积分 ①；②；③； ④；⑤；⑥ ⑦ ；⑧； ⑨ ；⑩. 5、，则. 6、设，则. 7、计算下列反常积分 ①；②；③； ④；⑤；⑥. 8、设且，求. 9、设有一个原函数，则. 10、设、在上连续，为偶函数，且有 ①求证：； ②利用①的结论计算 .[ ] 11、设可导，且，求 . 12、设有连续的导数,,, 当时，与是同阶无穷小，则 13、设，讨论在处的可导性。（可导） 14、设的一个原函数，且，则. 15、 设，计算. 16、若，则. 17、设，求 18、设 19、设为的连续函数，且满足， 求及常数．（，） 20、设连续，且，若，求 . 21、求连续函数，使它满足 .（）.