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一个与黄金分割数有关的魔术 魔术效果：猜出第 11 个数　 　　魔术师拿出一张上面并排画有 11 个小方格的纸条，请一位观众背对着他（确保他看不到观众在纸上写什么），在最左边两个方格中随便填入两个 1 ～ 20 之间的整数。从第 3 个方格开始，在每个方格中填入前两个方格中的数之和，一直填到第 10 个方格。例如这位观众在最左边两个方格中填入的两个数分别是 2 和 9，那么前 10 个方格中的数依次是　 2 9 11 20 31 51 82 133 215 348 ? 　　现在，魔术师叫这位观众报出第 10 个方格中的数，他只需要在计算器上按几个键，就能猜出第 11 个方格中的数。这就奇怪了，在不知道前两个数的情况下，仅知道第 10 个数，是怎么猜对第 11 个数的呢？　 　　魔术揭秘：只需除以 0.618　 　　其实，推测第 11 个数的方法非常简单！魔术师只要把第 10 个数除以 0.618，得到的结果四舍五入取整数就是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 348 ÷ 0.618 = 563.106…… ≈ 563，因此魔术师可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 563。而事实上，215 与 348 之和真的就等于 563。　　如果把最左边两个方格中的数换成另外两个数，例如换成 8 和 17 ，那么情况又会怎么样呢？　 8 17 25 42 67 109 176 285 461 746 ? 　　可以看到，第 11 个数是 461 + 746 = 1207，而 746 ÷ 0.618 = 1207.119…… ≈ 1027，与实际结果也惊人的吻合！这究竟是怎么一回事呢？　 魔术原理：盐水调配的启示　 　　不妨假设观众在最左边两个方格中填入的两个数分别为 a 和 b，那么，这 11 个方格中的 11 个数依次为：　 a b a+b a+2b 2a+3b 3a+5b 5a+8b 8a+13b 13a+21b 21a+34b 34a+55b 　　现在我们只需要说明，21a + 34b 除以 34a + 55b 的结果非常接近 0.618 即可。　　让我们来考虑一个貌似与此无关的生活小常识：两杯浓度不同的盐水混合在一起，调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度之间。换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是 a/b，另一杯盐水的浓度是 c/d，那么 (a + c)/(b + d) 一定介于 a/b 和 c/d 之间。因此，(21a + 34b)/(34a + 55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之间。而 21a/34a = 21/34 = 0.617647…… ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 = 0.618181…… ≈ 0.6182，可见不论 a 和 b 是多少，(21a + 34b)/(34a + 55b) 都被夹在了 0.6176 和 0.6182 之间。如果 a 和 b 都在 1 ～ 20 之间，用 21a + 34b 除以 0.618 的结果（四舍五入取整数）来推测 34a + 55b 是绝对可靠的。　　这里，0.618 正是神秘的黄金分割数 (√5? - 1)/2 的近似值；而上表中出现的系数序列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …… 正是传说中的斐波那契数列，当ｎ趋近于无穷大时，数列Fn／Fn+1的极限等于 (√5? - 1)/2。