§4.4 向量正交化.docVIP

例4-13 证明，，是R3的一组标准正交基． 分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基． 方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1． 方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明： （1）证明所给向量两两正交． ，所以，与正交； ，所以，与正交； ，所以，与正交； 有以上证明可知，所给向量、、两两正交． 又由于三个向量都是3维向量，所以、、是R3的一组正交基． （2）证明、、的长度都是1． ； ； ． 有以上证明可知，所给向量、、是R3的一组标准正交基． 例4-14 设，是R3中的向量， 试求在上的投影向量，投影长度；在上的投影向量和投影长度． 解：=1×4+2×(-1)+3×3=11， ， ， 在上的投影向量为 在上的投影纯量，或称为投影长度为 在上的投影向量为 在上的投影纯量或称为投影长度为 例4-15 将R4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)， (0，-1，3，2)}标准正交化． 解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量． 以所给的三个向量为行的矩阵为 用矩阵的第三行加第二行得 所以r(A)=3，所以三个向量线性无关． 2．用施密特法将向量组正交标准化 （1）正交化 构建两两正交向量组 令 （2）标准化 将正交向量组中的三个向量单位化． ， ， ． 至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交向量组 {，，}．