4个圆幂定理和其证明.docVIP

相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 　　　　证明： 连结AC，BD，由 HYPERLINK /view/327893.htm \t _blank 圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 　　注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. 　　 P A D P C B 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC ∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT 弦切角定义： 　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做 HYPERLINK /view/476788.htm \t _blank 弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 　　则∠TCB=∠CDA 　　∵∠TCB=90-∠OCD 　　∵∠BOC=180-2∠OCD 　　 ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理 　　从圆外一点引圆的两条 HYPERLINK /view/36416.htm \t _blank 切线，它们的 HYPERLINK /view/378768.htm \t _blank 切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 　　如图中，切线长AC=AB。 　　∵∠ABO=∠ACO=90° 　　BO=CO=半径 　　AO=AO公共边 　　∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） 　　∴AB=AC 　　∠AOB=∠AOC 　　∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP 圆幂定理 圆幂定理是对 HYPERLINK /view/357874.htm \t _blank 相交弦定理、 HYPERLINK /view/357878.htm \t _blank 切割线定理及 HYPERLINK /view/639186.htm \t _blank 割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。