如图1已知抛物线顶点为A(0,1)矩形CDEF顶点CF在抛物线上DE在x轴上CF交y轴于点B(0,2)且其面积为8.docVIP

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8． 如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由． 结束时间：2011年11月04日 21:45 提问者:sunflower521 最佳答案 （1）方法一：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．得 {1=c2=4a-2b+c2=4a+2b+c，解这个方程组，得a= 14，b=0，c=1，∴此抛物线的解析式为y= 14x2+1．（3分）方法二：∵B点坐标为（0.2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（-2，2）．（1分）根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．其过点A（0，1）和C（-2.2）{1=c2=4a+c解这个方程组，得a= 14，c=1此抛物线解析式为y= 14x2+1．（2）解：①过点B作BN⊥PS，垂足为N．∵P点在抛物线y= 14x2+1上．可设P点坐标为（a， 14a2+1）．∴PS= 14a2+1，OB=NS=2，BN=a．∴PN=PS-NS= 14a2-1（5分）在Rt△PNB中．PB2=PN2+BN2=（ 14a2-1）2+a2=（ 14a2+1）2∴PB=PS= 14a2+1．（6分）②根据①同理可知BQ=QR．∴∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，同理∠SBP=∠5（7分）∴2∠5+2∠3=180°∴∠5+∠3=90°∴∠SBR=90度．∴△SBR为直角三角形．（8分）③方法一：设PS=b，QR=c，∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．∴SR2=（b+c）2-（b-c）2∴ SR=2bc．（9分）假设存在点M．且MS=x，别MR= 2bc-x．若使△PSM∽△MRQ，则有 bx=2bc-xc．即x2-2 bcx+bc=0∴ x1=x2=bc．∴SR=2 bc∴M为SR的中点．（11分）若使△PSM∽△QRM，则有 bx=c2bc-x．∴ x=2bbcb+c．∴ MRMS=2bc-xx=2bc2bbcb+c-1=cb=QBBP=ROOS．∴M点即为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，∵∠PSM=∠MRQ=90°，∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．∴∠PMQ=90度．（9分）取PQ中点为N．连接MN．则MN= 12PQ= 12（QR+PS）．（10分）∴MN为直角梯形SRQP的中位线，∴点M为SR的中点（11分）当△PSM∽△QRM时， RMMS=QRPS=QBBP又 RMMS=ROOS，即M点与O点重合．∴点M为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）