21二重积分的变量代换.DOC

§4 二重积分的变量代换 引言 有一种情形，函数f在D上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例如 ，D= 分析：∵函数f(x,y)= 在有界区域D=处处连续，∴fR（D） = 或者 = 计算不出来！fR（D），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法. 联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法. 在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用. 对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数. 1 定积分换元积分法公式的改写 2 一元函数在的导数的绝对值的几何意义 3 函数行列式的几何意义 设变换的Jacobi 是在该变换的逆变换下平面上的区域在平面上的象. 由条件, 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换,设函数在平面上的区域内有连续的偏导数 . 在此变换之下,平面上的区域变为平面上的区域, 且设.由此求出变换，并且 . 引理1( 补充) 设变换：如上所述, 又设在平面上有一块包含点的区域, 点和都在内 . 通过变换将点变换为平面上一点, 将变换为平面上包含点的一块区域.那么当无限地向点收缩时 , 它们的面积之比的极限为, 即 . 证明思路（参见刘玉琏教材下册9225定理3）: (1) 在内取出一点, 作一个矩形( 边与坐标轴平行, 字母依逆时针标记 ) . 设四个顶点的坐标为 , . 则其面积分为. (2) 变换 把该矩形变为平面上的一个曲边四边形 ，设四个顶点的坐标为 ， ， ， . (3) 用Taylor公式把曲边四边形的四个顶点坐标用和表示出来: ; ,.; , . (4) 略去和, 得仿射变换. 在该仿射变换之下, 矩形变为平行四边形. 用该平行四边形的面积近似代替曲边四边形的面积. 平行四边形的顶点坐标是上述的顶点坐标表达式中略去和所剩的式子. 该平行四边形的面积= = . 注1 引理1即证明了换算公式 . 一、二重积分的一般变量变换公式 引理2变换：，（*）. 通过（*）把变为D，在上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设（在内不为0），则区域D的面积 （5） 证明 P233 定理21.13 设D有界闭区域，，变换：，（*）. 通过（*）把变为D，在上有关于x,y的连续偏导数，并且变换（*）是一对一的，又设 （在内不为0），则 证明 P235 例1 , . 解 P235-236 注2 当被积函数形如, 积分区域为直线型时, 可试用线性变换 . 补例1 , . 解 设. 则. ， . 因此 , . 注3 若区域是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域由以下两组曲线围成 : 第一组: ; 第二组: . 可试用变换 . . 从中解出. 在此变换之下, 区域变成平面上的矩形区域. 例2 求由抛物线 和 直线 所围平面区域的面积 . 解 P236 注4 在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（1）使变换的函数容易积分；（2）使得积分限容易安排. 二、用极坐标变换计算二重积分 1 极坐标变换下的二重积分变换公式 极坐标变换是一种特殊的变量替换. 极坐标变换： （8） 此时= 注5 在定理21.13中，假设J≠0，但有时会遇到这种情形. 变换行列式在区域内个别点上等于0.或只在区域个别线段上等于0，而在其它点上非0，此时定理21.13结论能成立. 定理21.14 设满足定理21.13的条件，在极坐标变换（8）下，有 = （9） 证明 P238 2 在什么情况下使用极坐标变换 当积分区域是圆域或是圆域的部分 或被积函数的形式为时，采用极坐标变换来计算往往简便得多. 3二重积分在极坐标变换下如何化为二次积分来计算 下面分情况讨论之 情形1 若=， ，