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第一章 信号及其描述 举例：PP9 1.2.2 傅里叶级数的复指数函数展开式 傅里叶级数也可以用复指数形式展开，由欧拉公式： 令： 则： 或： 以上为傅里叶级数的复指数函数形式。 证明： 在一般情况下cn为复数： 式中： 把周期函数x（t）展开为傅里叶级数的复指数函数形式后，可分别以 作幅频谱图和相频谱图； 也可以分别以cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图。 傅里叶级数 三角函数展开式——用正（余）弦作基本函数 单边频谱 复指数表达形式——用 作基本函数 双边频谱 欧拉公式 转换 由于： 只有nω0处有一根谱线 在－nω0，nω0处各有一根谱线 周期信号的频谱具有三个特点： （1）周期信号的频谱是离散的。 （2）每条谱线只出现在基波频率的整数倍，基波频率是诸分量频率的公约数。 （3）各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值和相位角。 1.2.3 周期信号的强度表述 周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率来表述。 峰值 ：信号可能出现的最大瞬时值。 峰-峰值 ：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。 周期信号的均值 ：是信号的常值分量。 周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值 ： 有效值 ：是信号的均方根值，即 平均功率 :有效值的平方——均方值，反映信号的功率大小。 几种典型信号的强度 PP13 1.3 瞬变非周期信号与连续频谱 非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号。 若信号各简谐成分的频率比不是有理数，但这种信号有离散频谱，故称为准周期信号。 多个独立振源激励起某对象的振动往往属于准周期信号。 通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。 衰减振荡 矩形脉冲 指数衰减 单一脉冲 t 0 x(t) t 0 x(t) t 0 x(t) t 0 x(t) 1.3.1 傅里叶变换 为了解决非周期信号频域描述，可以将非周期信号理解为是无限多个频率极其接近的频率成分的合成。 由于频谱图上相邻谱线的频率间隔是： 当周期 ，使 ，所以谱线在无限密集，以致离散的频谱最后演变成一条连续曲线。 设有一个周期信号x（t），在 区间以傅里叶级数表示为： 式中： 于是： 当 时，此式有两个变化： 1.积分限从时间轴的局部 扩展到时间轴的余部（－∞，＋∞）； 2.由于 ，在 时， ，离散变化频率 转化为连续变化频率为ω，无限多项的连加转化成连续积分，于是： 上式就是傅里叶积分。 或 这样x(t)与X(ω)建立起确定的对应关系，这种对应关系称为傅里叶变换对，记为X(ω)是x(t)的傅里叶正变换， x(t)是X(ω)的傅里叶逆变换。 把ω＝2πf代入傅里叶积分式中，可得： 一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成： 式中： 为信号 的连续幅值谱， 为信号 的连续相位谱。 注意： 的量纲与信号幅值量纲一样，而 的量纲则与信号幅值的量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，所以 又称为谱密度函数。 例如：PP15 1.3.2 傅里叶变换的主要性质 （1）奇偶虚实性 式中： 实偶函数 实偶函数 实奇函数 虚奇函数 虚偶函数 虚偶函数 虚奇函数 实奇函数 （2）对称性 若 x(t) ←→ X(f)，则 X(t) ←→ x(-f) 证明： 以－t替换t得 将t与f互换，即得X(t)的傅里叶变换为： 所以 （3）时间尺度改变特性 若 则 （k0)　 证明： 当时间尺度压缩（k1）时，频谱的频带加宽，幅值压低。 当时间尺度扩展（k1）时，频谱的频带变窄，幅值增高。 * * 1.了解信号分类方法　　　 2.掌握信号时域波形分析方法 3.掌握信号时差域相关分析方法 4.掌握信号频域频谱分析方法 5.了解其它信号分析方法 本章学习要求： 1.1 信号的分类与描述 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。 信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。 0 A t 信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的