北京林业大学《高等数学B》李扉-活页答案-第二章.docVIP

第二章 导数与微分 重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。 难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。 第一节 导数概念 1．填空题. 已知，则= 0 . 在抛物线上取横坐标为及的两点，作过这两点的割线，则抛物线上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线. 已知，则 1 . （4）欲使函数使 在处可导，则 2 ， -1 . 2．选择题. （1）设在处可导，则 （ B ） A. ； B. ； C. 0 ； D. . （2）设为可导函数，且满足条件，则曲线在处的切线斜率为（ B ） A. 2; B. (2; C. 1; D. (1. 若在点处可导，则在点处（ C ） A. 可导; B. 不可导; C. 连续未必可导; D. 不连续. （4）设，是过点（1，1）的曲线（n是正整数）的切线在x轴上的截距，则（ D ） A. 1； B. 0 ； C. e ； D. . （5）设在点处可导，则在点处不可导的充分条件是（ B ） A. 且; B. 且; C. 且; D. 且. （6）设函数 则在处（ B ） A. 左右导数都存在； B. 左导数存在，右导数不存在； C. 左导数不存在，右导数存在； D. 左右导数都不存在. 3．已知物体的运动规律为，求物体在时的瞬时速度. 解 令表示在时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 4．设在处连续，，求；若，在处可导吗？ 解（1）因为在处连续， 故，所以 （2）类似于上面推导知 可见当时，；当时，， 故这时 在处不可导。 5．求曲线在点处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 从而所求切线方程为 即 . 所求法线的斜率为 于是所求法线方程为 即 . 6．证明函数在点处连续，但不可导. 证明 因，又易知，故在点处连续。 而， 故右导数不存在. 7. 设 解 由导数定义知 第二节 函数的求导法则 1．选择题. 在函数和的定义域内的一点处，下述说法正确的是( D ) 若，均不可导，则也不可导； 若可导，不可导，则必不可导； 若，均不可导，则必有+不可导； 若可导，不可导，则+必不可导. 直线与轴平行且与曲线相切，则切点为( D ) A. ; B. ; C. ; D. . （3）设，在处连续但是不可导，存在，则是F（x）在处可导的( A )条件 A. 充要； B. 必要非充分； C. 充分非必要； D. 非充分非必要. 2．求下列函数的导数. （1） 解 （2） 解 （3） 解 (4) 解 （5） 解 （6） 解 （7） 解 （8） 解 （9） 解 3．设，求及 解 因而 . 求下列函数的导数. （1） 解 （2） 解 （3） 解 （4） 解 （5） 解 （6） 解 由易知 5. 在下列各题中，设为可导函数，求. （1） 解 （2） 解 6. 设且可导，求 解 把方程两端分别对求导，得: 令, 则 即 7. 设为可导函数，且，求和 解 把方程两端分别对求导，得, 进而 第三节 高阶导数 填空题. （1），则. （2），则 .. 选择题. （1）设在内为奇函数且在内有，，则在内是( C ) A.且； B. 且； C.且； D. 且. （2）设函数的导数与二阶导数存在且均不为零，其反函数为，则( D ) A．； B. ；C. ； D. 3. 求下列函数的n阶导数. (1) 解 (2) 解 , 4．计算下列各题. （1），求 解 将原题改写为, 则 于是 （2），求 解 依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n有 将20代入得 注：本题也可用莱布尼茨公式计算. （3），求. 解 将原式改写成 形式, 则 依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n有 （4），求 解 依此类推可用数学归纳法证明,对一切自然数n有 （5） 求 解 的高阶导数都为0，应该用乘积导数