北京林业大学《高等数学B》李扉-8-3.PPTVIP

问题的提出（Introduction) 球面 方程可写为 spherical surface (2) 抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： 用平面 设 原点叫做椭圆抛物面的 (paraboloid) 去截这曲面, 顶点. (1) 截痕为原点. 用平面 去截这曲面, 截痕为椭圆. 截痕退缩为原点; 用坐标面 截痕为抛物线. (2) 去截这曲面, 用平面 它的轴平行于 轴 顶点 去截这曲面, 截痕为抛物线. 用坐标面 (3) 去截这曲面, 及平面 截痕为抛物线. 椭圆抛物面的图形如下： 旋转抛物面 (由 面上的抛物线 用平面 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. 特殊地 方程变为 而成的) 去截这曲面, 截痕为圆. 绕z轴旋转 （ 与 同号） 双曲抛物面 用截痕法讨论： 设 图形如下： 有两个异号的平方项,另一变量 特点是: 是一次项, 无常数项. (马鞍面) (4) 双曲面 单叶双曲面 特点是: (hyperboloid) 平方项有一个取负号,另两个取正号. 类似地, 亦表示 想一想 单叶双曲面 单叶双曲面. 方程 以上两方程的图形是与此图形 一样吗? 双叶双曲面 或 特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号. (biparted hyperboloid) 它分成上、下两个曲面. 注 类似地, 或 亦表示 以上两方程的图形是与此图形 双叶双曲面 或 方程 双叶双曲面. 一样吗 第三节 曲面及其方程 曲面方程的概念 旋转曲面 柱面 二次曲面 第八章 空间解析几何与向量代数 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义 (1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 如果曲面S 有下述关系: 那么, 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形. 一、曲面方程的概念 与三元方程 0 ) , , ( = z y x F 凡三元方程都表示空间一曲面 是一个三元方程, 但不表示任何曲面. 错, 如 以下给出几例常见的曲面. 解 所求方程为 球心在原点的球面方程 例 特殊 是球面上任一点, 解 所求方程 是曲面上任一点, 例 的全体所组成的曲面方程. 研究空间曲面有 (1)已知曲面, (2)已知方程, 两个基本问题 (讨论旋转曲面) (讨论柱面, 二次曲面) 求方程; 研究图形. 二、旋转曲面 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称 称为旋转曲面. 旋转一周所成的曲面, 母线. 为方便, 作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴. (surface of revolution) 常把曲线所在平面取 以一条平面曲线 母线 轴 2 旋转曲面方程的求法 ： 把该曲线绕z 轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋转曲面。 坐标平面上有一已知曲线C， 1）设在 旋转过程中的特征： 如图 将 得方程 代入 旋转曲面方程. 旋转一周的 即为 同理, 旋转曲面方程为 旋转一周的 绕z轴 绕y轴 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可. 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. 称为 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 解 圆锥面方程 例：试建立顶点在坐标原点O, 半顶角为 的 圆锥面的方程. 旋转轴为z轴, 面上,直线方程为 圆锥面方程 即 圆锥面方程 (用得较多) 绕y轴旋转所得曲面方程及图形. 即 面上直线方程为 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程. 旋转双曲面 例 xoz坐标面上的双曲线 (1) 绕x轴旋转 绕z轴旋转 旋转椭球面 旋转抛物面 (2) 绕y轴和z轴; (3) 绕z轴. 定义 三、柱面 平行于定直线并沿定曲线C 这条定曲线C 称为柱面的 动直线L称为柱面的 准线, 母线. (cylindrical surface ) 所形成的曲面称为 移动的直线L 柱面. 准线 母线 例 讨论方程 的图形. 在xOy面上, 解 现在空间直角坐标系中讨论问题. 表一个圆C. 过点 作平行z轴的直线L, 设点 在圆C上, 对任意z,点 的坐标也满足方程 沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程 ) 0 , , ( 1 y x