北京林业大学《高等数学B》李扉-3-3.PPTVIP

解 例 因为 所以 误差为 泰勒多项式逼近 x y sin = 类似地,有 解 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项. 的一阶泰勒公式是 其中 三阶泰勒公式是 常用函数的麦克劳林公式 要熟记! 例 解 用间接展开的方法较简便. 两端同乘x,得 带拉格朗日型余项的公式展开问题 注 一般不能用这种方法. 须解决问题的类型: (1) 已知x 和误差界,要求确定项数n; (2) 已知项数n和x,计算近似值并估计误差; (3) 已知项数 n 和误差界,确定公式中 x 的 三、近似计算与误差估计 适用范围. 例 解 已知x 和误差界,要求确定项数n 满足要求. 计算 的近似值, 使其精确到0.005 ,试确定 的适用范围. 近似公式的误差 例 用近似公式 解 已知项数 n 和误差界,确定公式中 x 的适用范围. 令 解得 即 由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005. x cos 解 四、其它应用 因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了. 常用函数的泰勒展开求 例 型未定式 例 是x的几阶无穷小? 解 因 故由于 有 显然, 它是x的4阶无穷小. 像这类估值问题常用泰勒公式. 例 分析 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式. 中值定理与导数的应用 几个初等函数的麦克劳林公式 泰勒(Taylor)（英）1685-1731 近似计算与误差估计 其它应用 第三节 泰勒(Taylor)公式 第三章 微分中值定理与导数的应用 泰勒公式的建立 简单的, 多项式函数 特点 (1)易计算函数值; (2)导数与积分仍为多项式; (3)多项式由它的系数完全确定, 又由它在一点的函数值及导数值确定. 而其系数 一、泰勒公式的建立 熟悉的函数来近似代替复杂函数. — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢 回想微分 一次多项式 （如下图） 如 以直代曲 不足 1. 精确度不高； 2. 误差不能定量的估计. 一次多项式 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? 问题 (1) 系数怎么定? (2) 误差(如何估计)表达式是什么? 希望 用适当的高次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 - + + - + - + = L ) ( x f ? 猜想 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 1.n次多项式系数的确定 得 假设 同理 n n n x x a x x a x x a a x P ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 - + + - + - + = L 将 代入 中得 n n n x x a x x a x x a a x P ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 - + + - + - + = L 称为f(x)的 泰勒多项式来逼近 并估计它的误差. 下面将证明确实可以用 函数 泰勒多项式. 泰勒(Taylor)中值定理 余项 2.泰勒(Taylor)中值定理 多项式 (residual) , ) 1 ( ) , ( ) ( ) ( 0 阶导数 内有 在 若 + ? n b a x x f 次 的一个 可表为 n x x x f ) ( ) ( 0 - : ) ( 之和 与一个余项 x R n , ) , ( 时 则当 b a x ? 其中 分析 即证 也即证 证 令 由要求 柯西定理 用1次 柯西定理 用2次 如此下去, 得 即 用n+1次柯西定理, 可得 )! 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + = = + + + n x x f x R n n n n j . 次近似多项式 n 拉格朗日型余项 带有拉格朗日型余项 皮亚诺型余项 1858-1932) 皮亚诺(Peano,G.(意) , ) , ( 时 若 b a x ? M x f n + | ) ( | ) 1 ( 当对余项要求不高时, 带有皮亚诺型余项 可用皮亚诺型余项 注 1. 泰勒公式就是拉格朗日中值公式. n阶泰勒公式 2. 在泰勒公式中, 这时的泰勒公式,即 展开的泰勒公式称为: n阶泰勒公式 麦克劳林公式. 按x的幂(在零点) (Maclaurin,C.(英)1698-1746) 为 麦克劳林(Maclaurin)公式 带有拉格朗日型余项 近似公式 误差估计式为 带有皮亚诺型余项 解 二、几个初等函数的麦克劳林公式 例 麦克劳林公式. 代入公式,得 于是有 的