北京林业大学《高等数学B》李扉-1-7.PPTVIP

* * * * * * * * * * * * * * 无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 第七节 无穷小的比较 第一章 函数与极限 * 如, 不可比. 观察各极限 是无穷小. 一、无穷小的比较 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. * 定义 记作 记作 infinitesimal equivalence 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 低阶的无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小, a b 是比 就说 b a , 设 . 0 1 a 且 * 如 高阶无穷小, 同阶无穷小. 因为 二阶无穷小. k 阶无穷小. * 例 解 * 例 解 * 常用等价无穷小 * 定理1 证 设 则 因此 二、利用等价无穷小替换求极限 ). ( a a b o + = 因此 设 则 * 两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小; 此定理说明: 或者说,一个无穷小 * 例 所以 所以 * 定理2 证 (等价无穷小替换定理) * 等价无穷小替换定理说明, 两个无穷小之 比的极限, 可由它们的等价无穷小之比的极限 代替. 给 型未定式的极限运算带来方便. * 例 解 * 例 解 加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换. 注 * 例 解 解 错 * 例 解 * * 解 * 解 故 以及 * 1. 无穷小的比较 2. 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小的阶. 三、小结 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢, * 思考题 任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？ 解答 不能． 都是无穷小, 但 例如 不存在. 故 不能比较. * 作业 习题1-7 (59页) 3. 4. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *