分析 参数估计.ppt

2）C(θ) 和I(θ)之间的关系： C(θ) 和D(T )之间的关系： 的有效估计量是唯一的； 的有效估计量一定是 似然估计量。 例3、设总体X 服从指数分布，其密度函数为： X1,…,Xn为总体X 的样本， 求：1）参数θ的C-R方差下界。 2）参数θ的有效估计量。 解：1）当x 0时： 故信息量： θ的C-R方差下界为： 2）因似然函数： 所以： 又因： ，故 是θ的有效估计量。 且： 所以： 则T 的函数形式是 ,故估计量： 例5、设总体 解：因为 例6、设样本X1,…,Xn来自正态总体N(μ,σ2)，求参数μ,σ2的有效估计量 解： 3、相合性（一致性） 例8、设样本X1,…,Xn来自正态总体N(μ,σ2)， 2.4、区间估计 0、基本概念： 设θ为总体X 分布的一个未知参数,θ∈Θ, (X1,…,Xn )为总体X 的样本，如果给定常数α (0＜α＜1)，存在两个统计量， 为θ的置信度为1-α的置信区间， 分别为下、上置信限，称α为置信水平， 1-α为置信度 。 1、单个正态总体的期望和方差的区间估计 设总体X～N(μ,σ2 ) ， (X1,…,Xn)为 总体X 的样本，讨论μ,σ2参数的区间估计。 1) μ的区间估计 目的：求给定置信度为1-α时的μ置信区间。 故存在常数c，使得： 因： 是μ最小方差无偏估计量 即： 由置信度1-α确定常数c，可得μ的区间估计. （1）当σ2已知时： 给定1-α ，有： 即μ的置信度为1-α的置信区间为： * * * 重庆大学数学与统计学院 刘德强 2013 * 第二章 参数估计 《参数估计》主要内容 一、点估计和区间估计的概念 二、矩估计法 三、极大似然估计法 四、点估计的优良准则 五、区间估计 六、应用案例 点估计和区间估计的概念 数理统计是使用概率论和数学的方法，研究 怎样收集带有随机误差的数据，并在设定的模型 之下，对数据进行分析，以对所研究的问题做出 推断。 1、矩估计 设X1,…,Xn是来自总体X 的样本，总体 X 具有密度函数 ，其中参数θ未知。 如果总体的k 阶矩E(X k)存在，计算公式为： 显然E(X k)是参数θ的函数，记为 根据辛钦大数定理，当n→∞时，有 样本矩近似于总体矩。 求矩估计的步骤： (1) 写出总体矩的关系式(含未知参数) (2) 令样本矩等于总体矩(n充分大) (3) 求解以上m个方程组得到其解， 称为θ1,…,θn的矩估计值。 通常情况，由于总体分布的参数不超过两个， 记? = E(X ) ,σ2= DX，它们是未知的。 因总体的一阶矩就是期望，而二阶矩为 E(X 2 ) = DX + E 2X = σ2 + ? 2 故可建立下列的两个方程组： 解以上方程组，解出参数?和σ2的矩估计量： 例1、设总体X 的分布是均匀分布 的随机变量，其中θ1,θ2(θ1θ2)为未知参数。 X1,…,Xn是来自总体X 的样本，求参数θ1,θ2 的矩估计量 。 解：计算总体X 的数学期望和方差 建立方程组： θ1,θ2的矩估计量： 例2、设总体X 具有密度函数： 其中λ,θ是未知参数, X1,…,Xn是总体X 的 样本，求λ,θ的矩估计量。 解：因为： 所以： 令： 解得： 故λ,θ的估计量为： 其中 ： 例3、设样本X1,…,Xn来自于二项分布B(k,p)，其中k,p 为未知参数，求参数k,p的矩估计量 。 解：总体X 的数学期望和方差分别为： 令： 解方程组得： 从而参数的矩估计量为： 1）基本思想：使样本获得最大概率的参数值 作为总体未知参数的估计值。 2、极大似然估计 3）连续型总体：样本(X1,…,Xn)在 处的概率为： 其大小与 无关。 2）离散型总体：样本(X1,…,Xn)在 处的概率为： (2) 求解 称为似然函数。 原理：寻找 为极大似然估计量。 4）极大似然估计法的步骤： (1) 求似然函数 得极大似然函数 对极值问题： 利用极值原理令： 称上面的方程组为似然方程组。 为了计算方便，似然方程组可改写为： 称之为参数θ1,…,θn的极大似 然估计量。 注：若 是θ的极大似然估计量，则 的极大似然估计量。 例4、设样本X1,…,Xn来自正态总体N(μ,σ2)，其中参数μ,σ2未知，求参数μ,σ2的极大似然估计量 解：因总体X 的密度函数为：