解决圆锥曲线锥形方程的方法.docVIP

用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。 例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足 PA· PB =x2,则点P的轨迹是（ ）. A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解： PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), PA· PB=x2 则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得：y2=x+6 所以P点的轨迹为抛物线。 答案:D. 有定义法求轨迹方程 根据圆锥曲线的基本定义解题。 例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ） A. eq \f(x2,25) + eq \f(y2,16) =1 eq\f(x2,25) B. eq \f(x2,25) － eq \f(y2,16) =1 C. eq \f((x+3)2,25) + eq \f(y2,16) =1 D. eq \f((x+3)2,25) - eq \f(y2,16) =1 解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10|OA|=6 根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为 eq \f(x2,25) + eq \f(y2,16) =1. 解答：A eq\f(x2,25) eq\f(x2,25) 用相关点法求轨迹方程 当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。 例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程. 解:设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x-x1,2y-y1）. ∵N点在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2 = 1 \* GB3 ① 又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴ eq \f(y-y1,x-x1) =1即x-y+y1-x1=0 = 2 \* GB3 ② = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②联立得：x1= eq \f(3,2) x+ eq \f(1,2) y-1,x2= eq \f(1,2) x+ eq \f(3,2) y-1 又∵点Q在双曲线上，∴x12-y12=1 = 3 \* GB3 ③ 将x1,x2代入 = 3 \* GB3 ③中，得动点P的轨迹方程式为 2x2-2y2-2x+2y-1=0 用参数法求轨迹方程 选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程. 例：（04.成都)过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM,如图,求点M的轨迹方程. 解:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) OA的斜率为k(显然k≠0),则OB的斜率为- eq \f(1,k) . OA所在直线方程为y=kx.代入y2=2px得x1= eq \f(2p,k2) ,y1= eq \f(2p,k) OB所在直线方程为y=- eq \f(1,k) x,代入y2=2px得x2= 2pk2,y2=-2pk 即B(2pk2, -2pk) ∴OB=(2pk2, -2pk),OA=( eq \f(2p,k2) , eq \f(2p,k) ) OM= OA+ OB =( eq \f(2p,k2) +2pk2, eq \f(2p,k) -2pk)所以有 x=2p( eq \f(1,k) -k)2 +4p, y=2p( eq \f(1,k) -k) 消去( eq \f(1,k) -k)得：y2=2p(x-4p)(p0) 即求得M点的轨迹方程。 注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围. 除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法. 一.几何法 二.交轨法 1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质) 例:已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ). A. eq \f(x2,4) － eq \f(y2,3) =1(x≠0) B . eq \f(x2,4) + eq \f(y2,3) =1(x≠0) C. eq \f(x2,4) － eq \f(y2,3) =1(y≠0) D . eq \f(x2,4) + eq \f(y2,3) =1(y≠0) 解:如图所示,根据题意及抛物