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2013年高考数学圆锥曲线与方程 云南省宁蒗民族中学 圆锥曲线与方程 一．椭圆及其标准方程 1. 定义椭圆：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 练习1。判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标 2.判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 练习2。将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 练习3。 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴，焦点在轴上； ⑵，焦点在轴上；⑶ 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. 例2 在圆x2+y2 =4上任取一点P，向x轴作垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程。轨迹是什么图形？ 例3 设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程. 3.椭圆的简单几何性质： 1）.范围 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式 ≤1, ≤1 即 x2≤a2, y2≤b2 所以 |x|≤a， |y|≤b 即 －a≤x≤a, －b≤y≤b 这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。 2）.对称性 椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。 这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3）.顶点 在椭圆的标准方程里， 令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。 令y=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。 因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长) 由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即　　　　　|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a c2＝a2－b2 4）.离心率 定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率。 因为ac0,所以0e1. (1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁； (2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。 当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考] 4. 焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比. 例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形. 解：把已知方程化为标准方程, 这里a＝5，b＝4，所以c＝＝3 因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8 离心率e＝＝ 两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)， 四个顶点分别是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4). 例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 例3 点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹. 椭圆及其标准方程同步测试 一、选择 AUTONUM ．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 AUTONUM ．椭圆的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) AUTONUM ．已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ A ） A.2 B.2 C.2 D. AUTONUM ．方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） Ａ. Ｂ.∈Ｚ）  Ｃ. Ｄ. ∈Ｚ） 5．在方程中，下列a, b, c全部正确的一项是 （A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6 （D）a=100, c=64, b=36 6．已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段