平面矢量乘法运算.docVIP

平面向量的数乘运算 一、知识精讲 1．向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念： 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②λa(a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当 时，与a方向相同；,当 时，与a方向相反.)) 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. (2)向量数乘的运算律： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. (3)向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. [小问题·大思维] 1．若λa＝0，则λ＝0对吗？ 提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？ 提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时)． 3．已知向量a，b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b共线吗？ 提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？ 提示：由于单位向量的长度总等于1，所以与非零向量a共线的单位向量应为±eq \f(a,|a|). 二、典例精析 [例1]　eq \f(1,3)[eq \f(1,2)(2a＋8b)－(4a－2b)]的结果是 (　　) A．2a－b　　　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b [答案]　B 变式练习： 1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝ (　　) A．－a B．－b C．－c D．以上都不对 解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b) ＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b ＝a－2(b＋c)． 又a＝b＋c，故原式＝－a. 答案：A [例2]　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝eq \f(1,3)BC，CN＝eq \f(1,3)CD，试用a，b表示，，. 变式练习： 1、在本例条件中，试用a，b表示. 2、设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 答案：A [例3]　设两非零向量a和b不共线，如果＝a＋b，＝3(a－b)，＝2a＋8b.求证：A、B、D三点共线． 变式练习： 已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.若a与b是共线向量，求实数k的值． 解题高手： 如图所示，已知平行四边形ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. 三、课后检测 一、选择题 1．已知两不共线的向量a，b，若对非零实数m，n有ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝(　　) A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 解析：∵ma＋nb＝λ(a－2b)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝λ，,n＝－2λ，))∴eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2). 答案：C 2．如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是(　　) A．r＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q B．r＝－p＋2q C．r＝eq \f(3,2)p－eq \f(1,2)q D．r＝－q＋2p 解析：∵＝－3， ∴＝－2＝2， ∴r＝＝＋＋ ＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q. 答案：A 3．在?ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则＝(　　) A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b 解析：如图． ∵△DEF∽△BEA. ∴eq \f(DF,AB)＝eq \f(DE,EB)＝e