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范数：用于度量“量”大小的概念 引言 实数的绝对值：是数轴上的点到原点的距离； 复数的模：是平面上的点到原点的距离； 还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）； ２） 2. 向量的范数：p-范数 （1） 示例： 3. 矩阵（算子）的范数 （2） 矩阵的谱半径:设是阶矩阵，称 （3） 为该矩阵的谱半径。 记 ， 那么， （3） 4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念 5.利用范数定义点之间的距离 向量的内积、范数及维空间距离的度量 令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质： １、共轭对称性：，； ２、非负性：，，； ３、线性性：，， ； 则称是上的一个向量内积（inner product），向量空间上的向量内积通常用符号表示，定义了内积的向量空间称为内积空间（inner product space）。记做表示。 例１．１　，，，容易验证函数 　　　　　　　　　（１．１） 定义了上的一个内积。 令是一数域，是上的向量空间，如果函数有如下性质： １、非负性：，，； ２、齐次性：，，； ３、三角不等式：，； 则称是上的一个向量范数（norm），向量空间上的范数通常用符号表示。定义了范数的向量空间称为赋范空间（normed space）。记做表示。 例１．２　，，，容易验证函数 　　 　　　　　（１．２） 定义了上的一个范数，这样定义的范数称为由内积（１．１）诱导的范数。 例１．３　上常用的向量范数：， １、１—范数：； ２、２—范数：； ３、—范数：； 令是一数域，是上的向量空间，如果实值函数有如下性质： １、对称性：，； ２、非负性：，， ３、三角不等式：， ； 则称是上的一个距离（函数）（distance function）或度量（metric），定义了度量的向量空间称为度量空间（metric space），记做表示。 例１．4　上常用的（由范数诱导的）度量：， １、１—范数诱导的度量：； ２、２—范数诱导的度量：； ３、—范数诱导的度量：； §１．２　矩阵的范数 矩阵是线性映射（当时为线性变换）的一种表现形式。因此，除了可以把矩阵看做向量而定义其范数外，更为基本、更为重要的是表征其线性映射的算子范数（operator norm），以的情况为例： 　　　　　　　　　　（１．３） 其中（１．３）右端的范数是赋范空间中向量的范数，由矩阵算子范数的定义（１．３）容易证明（对映像大小的估计）不等式： ，　， 　（１．４） 称满足不等式（１．４）的矩阵范数是与对应的向量范数相容的。 例１．５　常用的矩阵范数： １、１—范数（列范数）： ； ２、２—范数（谱范数）： ； ３、—范数（行范数）： ； 上述三种范数是如下定义的矩阵—范数的特例： ４、由向量的—范数：，，定义： 　　　　　　　　（１．５） ５、Ｆ—范数（Frobenius）: ； a、充分必要条件是：矩阵的谱半径； b、充分条件是：矩阵的某个算子范数。