导数与切线的斜率.DOC

§微分 主題1：導數的定義 1.，若存在，則＝稱在可微分。 在的導數也是圖形在點切線的斜率，切線方程式為 。在的導數為＝，即a用變數x取代可以得到 ＝，稱為函數的導函數 4.導函數的定義域是有定義且上面極限存在的所有x，導函數又稱為斜率函數，因 在的取值 是函數圖形在點切線的斜率。 的導函數有下面的表示法：，，，， 6. ＝＝﹐其中。 1.函數在可微分的意義是＝存在 2.函數 在開區間（a﹐b）可微分的意義是對任意c﹐a＜c＜b﹐f（x）在x＝c都可微分。 在可微分﹐則 在是連續函數。 在可微分，故＝存在， 對，－＝ ＝．＝．0＝0﹐ 因此＝故在是連續函數。 ※重要範例 1. 若, 則在的導數為　　　　　 【解答】 . . 2. 試求在處的導數. 【解答】 . . 隨堂練習, 試求. 【解答】 . ,則. 3. 若, 且存在, 試求, 的值. 【解答】 , . 存在, 即在處連續則,, 則, . 4. 若, 而存在, 則　　　　　　　　　　 【解答】 , . 存在, 則必為連續,(1),(2),由(1)知,由(2)知,則,故, . 隨堂練習 設函數的定義：, 已知存在, 則　　　　 【解答】 . 在可微分, 則且,即,,則且,即, , 故. 5. 設, 若在實數上可微分, 則數對　　　　　 【解答】 . 在皆可微分, 則在可微分且連續,, 則,, 則, ，故. 隨堂練習 若, 且存在, 試求, 的值. 【解答】 , . (1)存在, 即.(2),則. 6. 設函數的定義為, 試求的值. 【解答】 不存在. (1).(2).由(1)(2)得的值不存在. 7. 過曲線外一點, 對曲線作切線, 則切線斜率為　　　　　 【解答】 或6. 令切線為，與相切,則只有一解,即的判別式或6. 隨堂練習外的點的切線方程式. 【解答】 , . 令切點坐標，又, 即切線斜率為,則切線方程式為，過代入方程式得或1,(1), 切點, 斜率, 故切線為.(2), 切點, 斜率， 故切線為. 8. 通過雙曲線上一點的切線方程式為　　　　　 【解答】 . 令, , ,,則通過P點的切線斜率是,故切線方程式為. 9. 設拋物線與直線相切於點, 而且與直線相切, 則數對　　　　　 【解答】 . 設, 得,因在拋物線上, 則……(直線的斜率為, 則……(而直線與拋物線相切, ,即恰一解, ……(由((知, , 代入(得, , , 故. 隨堂練習, 已知二曲線與在點處相切, 則數對　　　　　 【解答】 . 二曲線與切於,則, , ,且二曲線在上的切線斜率會相等,則, ,即, 故. 10. 設函數， 則在處的導數　　　　　且切線方程式為　　　　　 【解答】 25, . ,則,,故切線方程式為. 11. 試求平行於直線, 且與函數相切的直線方程式. 【解答】 或. 直線的斜率為,令, 則,又, 則或,當時, ,當時, ,故所求直線方程式為 或. 隨堂練習 已知函數圖形上某一點的切線斜率為5, 試求切點的坐標. 【解答】 或. 令, 則,設切點為, 則切線斜率為, 解得或,(1)當時, , 即切點坐標為.(2)當時, , 即切點坐標為. 主題2：導函數的運算 1.若＝c是常數函數﹐則＝0。 ＝＝＝0＝0。 ＝mx＋k是一次函數﹐則＝m。 ＝＝ ＝＝m。 且＝，則＝。 ＝ 又＝ ＝ ＝＝＋0＋…＋0＋0＝。 與可微分﹐則＋的導函數是＋， 即〔＋〕＝＋。 〔＋〕＝｛〔＋〕－〔＋〕｝ ＝〔＋〕 ＝＋ ＝＋。 與可微分﹐則－的導函數是－ 即〔－〕＝－。 c是常數且可微分﹐則c的導函數是c， 即＝c。 ＝是一多項式，則 ＝。 的導函數是出現在的單項式之導函數的和，但 ＝0﹐＝，＝，…，＝， ＝。 〔．〕≠．。 與可微分﹐則〔．〕＝〔〕．＋． ＝＋。 〔．〕＝ ＝ ＝ ＝．＋． ＝〔〕．＋．＝＋。 可微分所以連續＝。 可微分且≠0﹐則＝－。 ；x≠0，＝－，。 ＝〔－〕＝ ＝－?＝?＝－。 ≠。 與可微分且≠0﹐則＝。 ＝〔f（x）〕．＋． ＝．＋．＝。 ※重要範例 1. 若多項式滿足及, 則　　　　　 【解答】 . ,故. 2. 設為一函數, 且, 則　　　　　 【解答】 . ,故所求  . 隨堂練習, 則　　　　　 【解答】 . , 則,故所求  . 隨堂練習滿足, , 則(1)　　　　　(2)　　　　　 【解答】 (1)9. (2)11. (1)  .(2)