导数和图形的斜率.PPT

範例 4　求圖形的斜率 （解） 由直線方程式 f(x) ＝ －2x ＋ 4 可知斜率是 －2，如圖 3.9 所示，這個結論符合斜率的極限定義。 第三章　微分 P.3-5 範例 4　求圖形的斜率 （解） 第三章　微分 P.3-5 圖3.9 檢查站 4 求 f(x) ＝ 2x ＋ 5 的圖形斜率。 第三章　微分 P.3-5 斜率和極限的程序 注意，範例 3 和範例 4 中設定差商的方式是不同的。範例 3 是求圖形在特定點 (c, f(c)) 的斜率，可用下列差商形式。 第三章　微分 P.3-6 斜率和極限的程序 但範例 4 是求圖形上任一點的斜率公式，此時差商應該用 x 而不是c。 除了線性函數外，以上的公式總會得到 x 的函數，可用來求任意點的斜率。 第三章　微分 P.3-6 描繪函數 y1 ＝ x2 ＋ 1 的圖形和三條直線 y2 ＝ 3x － 1、y3 ＝ 4x － 3 以及 y4 ＝ 5x － 5。那一條直線為 y1 在點 (2, 5) 的切線？由顯示 y1 的圖形和它的切線只有一個交點來確認答案。反之，y1 的圖形和其他的線都有兩個交點。 第三章　微分 P.3-6 探索 範例 5　求圖形的斜率公式 求 f(x) ＝ x2 ＋ 1 之圖形的斜率公式，在點 (－1, 2) 和 (2, 5) 的斜率為何？ 第三章　微分 P.3-6 範例 5　求圖形的斜率公式 （解） 第三章　微分 P.3-6 範例 5　求圖形的斜率公式 （解） 接著取 Δx → 0 時 msec 的極限值。 可用公式 m ＝ 2x求在特定點的斜率，在 (－1, 2) 的斜率為m ＝ 2(－1) ＝ －2，而在 (2, 5) 的斜率為 m ＝ 2(2) ＝ 4。圖 3.10 所示為 f 的圖形。 第三章　微分 P.3-6 範例 5　求圖形的斜率公式 （解） 第三章　微分 P.3-6 圖3.10 檢查站 5 求 f(x) ＝ 4x2 ＋ 1 之圖形的斜率公式。在點 (0, 1) 和 (1, 5)的斜率為何？ 第三章　微分 P.3-6 學習提示 第三章　微分 P.3-7 f(x) ＝ x2 ＋ 1 之圖形會因不同的 x 值而得到不同的斜率。什麼樣的 x 值會使斜率為 0？ 函數的導數 在範例 5 中，從 f(x) ＝ x2 ＋ 1 開始，然後用極限的方法得到另一個函數 m ＝ 2x，它表示 f 的圖形在點 (x, f(x)) 的斜率。這個所求得的函數稱為 f 在 x 的導數 (derivative)，用 f ? (x) 表示，讀作“f prime of x” 第三章　微分 P.3-7 函數的導數 除了 f? (x)，亦可用其他的表示式來表示 y ＝ f(x) 的導數。最常用的有 , y? , , 和 Dx[y] 第三章　微分 P.3-7 學習提示 符號 dy/dx 讀作「y 對 x 的導數」，用極限表示式可寫成 第三章　微分 P.3-7 範例 6　求導數 求 f(x) ＝ 3x2 － 2x 的導數。 第三章　微分 P.3-7 範例 6　求導數 （解） 所以 f(x) ＝ 3x2 － 2x 的導數為 f? (x) ＝ 6x － 2。 第三章　微分 P.3-7 檢查站 6 求 f(x) ＝ x2 － 5x 的導數。 第三章　微分 P.3-7 函數的導數 在很多應用中，常用 x 以外的變數當自變數，範例 7 就是函數用 t 當自變數的一例。 第三章　微分 P.3-8 範例 7　求導數 對函數 ，求 y 對 t 的導數。 第三章　微分 P.3-8 範例 7　求導數 （解） 令 y ＝ f(t)，且用極限方法如下。 第三章　微分 P.3-8 範例 7　求導數 （解） 所以，y 對 t 的導數為 記住，由函數的導數公式，可求函數圖形上任意點的切線斜率。例如，f 圖形在點 (1, 2) 的切線斜率為 第三章　微分 P.3-8 範例 7　求導數 （解） 欲求在其他點的斜率，可將該點的 t 座標代入導數公式，如下所示。 點　　　　　 t 座標　 斜率 (2, 1) t = 2 (－2, －1) t =－2 第三章　微分 P.3-8 檢查站 7 對函數 y ＝ 4/t，求 y 對 t 的導數。 第三章　微分 P.3-8 可微性和連續性 並非所有函數都是可微的。圖 3.11 顯示一些函數在某一點不可微的常見情形，例如有垂直切線的點、不連續的點，以及有尖角的點。圖 3.11 顯示每一個函數除了 x ＝ 0 外，對每一個 x