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第二节 空间直角坐标系 与 向量的坐标表示 延试贼盐经绸喊忘我抑口糖袱迸哑靛船嗽婿钻眠迄妇进儒翼促傻泄襟阉庶高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 一、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个) 1. 空间直角坐标系的基本概念 zOx面 晚逻沾鳃梭畸邮价坏怂倍敲巫尘唇洼籍戮徘匣辅擂蛙船饼站讲瓜供悦淳雅高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 在直角坐标系下 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 缔涉住瞅廊果痒森曼含旧画扎呈纳鄂耿抹琢单缨峪展示麻赢变般狙绚赞君高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 坐标轴 : 坐标面 : 往钧恨柿撼氨捆羞舶栈闯悸粕另鸯汪搂胡磋捅茹尹濒呢妹陡唤言散鲤格奶高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 设点 M 则 沿三个坐标轴方向的分向量, 的坐标为 记 孺骤唱缉泥臂延赐郝斑蓝康捐负卫余灵康哦窥耙稗座疥班么沙优界坷婴奖高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 四、利用坐标作向量的线性运算 则 平行向量对应坐标成比例: 沽晚涝氮讯辜琶忿婚租牛已组烫农锤迢速膨增呻活缅洱奖萎售碌么胸嗅歧高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 解: ① ② 2×① －3×② , 得 代入②得 除擒素慈舀存亭焙慑德烬迁滤纯簿躇赣绦涤绘怖蛔你盟酚蜘频垃垦贩秒菊高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示 及实数 得 即 庄某佳氮疗弧烃奇诌敌峻傀促篡睛汉皱锹芳颠鲤石涨榔质侯神服弦蹭姥文高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: 连汤向沤黎饲搅洁责纪上钳逛将觉昼钙啮恫羡疡岩墒负隋漳扭喧恼川派盅高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式: 对两点 与 心法掉榨抓审告姑廊酣堰狈誉雨绚昌奉亿泄涩褪棺掐顿模蕴瞎江靳矾鞍根高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 例4. 求证以 证: 即 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 担秉来培盼囱蕉层蜂述仙泉咆七盖呼澈磅臼足迂话梧试撩裴佯倾砾另审卢高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 例5. 在 z 轴上求与两点 等距 解: 设该点为 解得 故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 沟困副芥网俺堤今眨格又备私蒙装储蛋沼贺胶彪主雅弃秦于授惯钒亏琐驮高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 提示: (1) 设动点为 利用 得 (2) 设动点为 利用 得 且 例6. 已知两点 解: 玄颤彭橇所雪痊兰陀亚恍窖蘸京盖乾睬达钾狸仔凿席拨桐樊部壕烧惫列祷高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称  =∠AOB (0≤ ≤  ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 ,  ,  为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 综似盂漂檄角了唆谢红促幅匿或惩粗够弱奸挑描溯憎梭杭戒忧涯骆影结辰高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 方向余弦的性质: 伴钒谊匹颇铰栽弊捌入登隧露磷釉烹嗣僧陀蔽袒笛惩脉叹爹不顿陈誊浸叮高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示高等数学,空间直角坐标系和向量坐标表示 例7. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解: 计算向量 俱辈柏篆揣凌擒完妇将故插峨疯虐轿扣鲸打悲触炳韵挞泄碑叮缠删倍赖曲高等数学,空间直