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第二章 控制系统的数学描述方法 1、线性常系数微分方程 （时间域描述） 2、传递函数（Transfor function） （算子域描述） 3、结构图 （图形化描述） §2.1 控制系统的微分方程 1、线性常系数微分方程 式中 为输出信号的各阶导数， 为常系数 为输出信号的各阶导数， 为常系数 2、线性定常系统的基本性质（迭加原理） 如果有 输入 x1(t) ? 输出 y1(t) 输入 x2(t) ? 输出 y2(t) 则系统的输入为 输出保持线性可加为 3、控制系统微分方程的建立 解析法：（基础方法） 根据物理系统的运动定律列写方程。 实验法：（工程方法） 根据实验数据确定系统的运动规律。 主要以解析法列写方程： 电学系统 力学系统 电学系统 i 元件约束：线性元件的V－I关系 ii 网络约束 基尔霍夫的两个定律 节点电流定律 回路电压定律 在这两个网络基本方程的约束下，可以确 定电网络中独立变量的个数，并写出电网 络的微分方程。 例2－1 考虑由电阻R与电容C组成的一阶滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。 解 由回路电压定律 由于 代入 令时间常数T=RC，得到一阶微分方程 或 例2－2 考虑两级RC网络的滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。 解 对于回路L1有 对于回路L2有 元件约束为 综合上述方程组，消去中间变量 i1，i2，uc1， 得到以ui为输入，uo为输出的微分方程 为二阶微分方程 。 设时间常数为 方程可以写为 或 力学系统 运动规律为牛顿定律 机械平移运动 例2－3 设弹簧－质量－阻尼器系统如图所示，试列出以力Fi为输入，以质量单元的位移x为输出的运动方程。 解 由加速度定律 合力为 外力 弹性阻力 粘滞阻力 代入方程有 机械平移系统的运动方程也是二阶微分方程。 机械旋转运动 例2－4 已知机械旋转系统如图所示，试列出系统运动方程。 解 由角加速度方程 其中 J：转动惯量?：角加速度 ∑M ：合外力矩 得到 整理 ，为Mf — ?的一阶微分方程。 如果以角度θ为输出，由于 得到2阶方程 复合系统： 电动机——机电复合系统 例2－5 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系与 机电系统原理如图所示，试写出其运动方程 电磁物理结构图 定子 转子 机电系统原理图 1、电网络平衡方程 2、电动势平衡方程 3、转矩平衡方程 4、电磁力矩方程 4方程联立，消去中间变量Ia，Ea，Ma，忽略空载阻力矩ML，得到电枢电压Ui——旋转角速度ω的2阶运动方程 由于电枢电感很小，略去La，得1阶方程 §2.2 非线性微分方程的线性化 线性方程 非线性方程(连续、可导) y=kx y=f(x) 应用小偏差理论实现非线性方程的线性化 具有连续变化的非线性函数 y=f(x) 为预定工作点，则该非线性函数可以线性化的条件是：变量X 偏离预定工作点很小。 泰勒级数： 略去二阶以上高次项 写出增量式 则 在x0邻域，斜率为 得到增量方程 写为普通变量，得到线性化方程 例2－7 已知单摆系统的运动如图2－11所示。（1）写出运动方程，（2）求取线性化方程。 解（1）列写运动方程 摆球质量为 m 摆长为l；摆角为 ?， 运动弧长为 l·? ， 摆球运动阻力为h， ? 很小时，由牛顿定律可以写出 媒质阻力h的大小与运动速度成正比 得到单摆系统的运动方程 为2阶非线性方程。 给定初值： 和 运动 由方程唯一确定。 （2）求取单摆系统的线性化方程 由于 在?=0邻域展开泰勒级数为 忽略2次以上高次项，有 ?=? 得到线性化方程为 注意： （1）本质非线性系统不可以作线性化。 本质非线性系统不连续性、不可导性使得其泰勒级数展开式在工作点邻域的切线近似不成立。 （2）不同的工作点，不同的线性化系数， 有不同的线性化方 （3）工作点邻域的线性化方程是增量方程 （小范围工作）。 （4）多变量情况时，其线性化方法相似。 如双变量时，函数关系为f(x,y)。 * * *