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梁 的 位 移 MA 02139 ，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2000 年11月30日 引言 在许多应用梁的场合，我们都希望能预知梁在弯曲时的挠度，因为通常对梁许用的最大 挠度都有限制。另外，在材料试验中，在测量梁由弯曲载荷引起的横向挠度时，也常常需要 进行挠度分析。如果我们知道载荷与挠度之间的关系，则能从测量结果反推出材料的性质（特 别是弹性模量）。例如，我们可证明：梁在“三点弯曲”（在中点处受到横向载荷P 作用的 简支梁）时，其中点挠度δ 为 P 式中，梁的长度L 和梁的横截面对中心轴的惯性矩I 为几何参数。若已由实验测出δ 与P P 之比，就能求出弹性模量E 。 用此法测定的刚度称为弯曲时的弹性模量。 有许多方法可求解梁的挠度问题，很多教材在这个问题上花了大量篇幅。下面只概略介 绍一些较为直截了当的方法，这些介绍与其说是为了培养手工解题的许多技巧，还不如说是 为了理解具有普遍性的概念。实际上，设计工程师需要时，通常会查阅手册中列有挠度公式 的表格，所以即使在计算机时代之前，许多求梁挠度的方法也多少有点纯理论的味道。 多重积分 我们在模块 12 中已经看到：通过对载荷函数 q(x) 的两次积分，可先得到剪力函数 V(x) ，再得到弯矩函数M (x) 式中，积分常数c 和c 由V 和M 的相应的边界条件来确定 (若用奇异函数，则显然包含了 1 2 边界条件，积分常量c 和c 均为零) 。从模块 13 的式 （6 ）知，曲率 v (x) 等于弯矩除以 1 2 ,xx 梁截面的弯曲刚度EI 。于是得出另外两个积分 1 式中，c3 和c4 由转角或挠度的边界条件确定。 图 1 三点弯曲 例 1 作为上述解法的实例，考虑图 1 所示的 “三点弯曲”情况。在材料试验中经常采 用这种几何结构，因为它不需要将试样夹紧在试验台上。若载荷P 作用在中点上，则A 、 B 两处的约束反力都等于所加载荷的一半。于是载荷函数为 将上式积分： 由对称性得，梁在中点处转角为零。因此在 x L / 2 处， v,x 0 。由此可求出 c3 为 −PL2 / 16 。再积分： 在梁的左端，挠度为零，得c4 0 。重新整理后，梁的挠度为 最大挠度发生在x L / 2 处，这个结果在奇异函数项出现前就能得到。于是 在弯曲试验中，上式用得很多，这也是这一模块开始时所举的例子。 要写出载荷函数，必须先求出梁在支座处的约束反力。如果像上例一样，梁是静定的， 则约束反力可通过静力平衡方程求得。所谓“静定”，意思是只出现两个约束反力或约束反 力偶，因为我们可用的方程只有两个：一个是与梁轴线垂直方向上的力平衡方程，另一个是 2 力矩方程。简支梁 （只支承在两个支座上的梁）或悬臂梁就是此类静定梁的例子。对于前者， 在每个支座处有一个约束反力；对于后者，在固定端有一个横向的约束反力和一个约束反力 偶。 当然，将梁的支座限定在足以用静力平衡方程求解的数目，在工程上并非必需。加 “额 外”的支座将减小变形和应力，尽管需要额外的建造费，通常还是值得的。不过这将使挠度 分析更为复杂，因为此时并非所有未知的约束反力都能从静力平衡方程中求出。在这些超静 定问题中，必须借助几何约束条件，才能提供足够的方程，使问题得以求解。