补助线的WHWTT结构.PDF

補助線的WHWTT結構 劉俊傑 國立西螺高級農工職業學校數學教師 當我們在證明平面幾何的題目時，常常需要借助補助線來穿針引線以完成證 明的推理過程。但事實上對我們真正有幫助的，不僅僅是那一條線段或是直線， 而是由這條補助線所產生的幾何圖像，這也就是WHWTT結構中的第三項要素 - What （由補助線形成的圖像，所扮演的角色），但我們卻時常忽略了這項要素。 解題時若能考量此題目欠缺何種幾何圖形，來輔助推理，我想對於巧添補助線將 會是有所助益的。 本文將分成四個部分，來說明WHWTT結構：(1) 補助線的WHWTT結構， (2) 補助線的等級，(3) 補助線的相等，(4) 補助線的證明同構。 一、補助線的WHWTT結構 本文的WHWTT結構，是指Why （為何）、How （如何）、What （角色）、 Theorem （定理）、Transform （轉換）的首字母縮寫，一條補助線出現在證明 過程中，會包含這五項要素，分別詳述如下： (1) Why ：是指為何會作出這條補助線，也就是補助線作法產生的原因。通 常要從題目已知中的點線間的關係及所求證的目標，來看出線索。這應該是我們 所關切的議題，我們是如何根據已知條件或是所要求證的結果，得知該在題設圖 形上適當的位置，作出關鍵的補助線，來幫助我們進行幾何推理的步驟，進而達 到題目所要求證的幾何性質。 (2) How ：如何作出這條補助線，補助線的作圖法。原則上包括各種基本的 作圖方法，如連接圖上兩點間的線段，延長線段並在其上取定長線段，過一點作 另一直線的平行線，過一點作另一直線的垂直線，作一定角等於另一特定角 ，… 等等。補助線的作法可以分成兩個步驟：一、從圖形上的哪個點下筆，二、補助 線的作圖法。由於基本作圖法只有幾種，所以，求作補助線主要就是在找到起點， 從圖形中的哪個點開始作補助線是重要的。 (3) What ：補助線是甚麼，補助線在推理中是擔任何種角色。如三角形外角 的一邊長，弦切角的一邊，圓內接四邊形的一邊，兩平行直線間的截線 ，…等等。 當補助線參與題設的圖形，它不僅僅是一條直線或線段而已，更重要的是，它會 將圖形切分或是補形，形成一些新增加的幾何圖像如三角形、圓內接四邊形，我 們也就是要利用這些由補助線新產生的圖像，與原圖形中的圖像，發生關聯。以 達到某個步驟的幾何推理所需要的條件，補助線有可能會出現在種種各式各樣的 幾何圖形中。 我想能熟悉需要哪些幾何元件來幫助我們完成證明，正是掌握Why補助線成 因的關鍵。與其思考補助線在哪裡，有時不如想想哪些幾何圖形對所需要的證明 最有幫助。而且What也是在做補助線分類時，最主要的一項依據，這將在本文 中的第三部分再詳加說明。 (4) Theorem ：定理，以哪一條定理或是公設，作為這一個步驟的推理依據。 如畢氏定理、射影定理、中位線定理、圓周角定理、弦切角定理、三角形全等性 質定理 ，…等等。所有我們所熟悉的平面幾何性質，都有可能會是我們所引用證 明的根據。 1 (5) Transform ：轉換、轉移或轉化，是添加這條補助線的目的。在每個步驟 中，我們所關心的是補助線在這一步驟中可產生何種轉化。依其效果可以分成兩 大類，第一：幾何量的等量（或是不等量）變換，如線段長度、角度、比值、線 段倍長移位、兩線段長度乘積、比例線段、兩線段長度平方和、不等量的關係 ，… 等等。通常兩個幾何量之間的等號，就表示一次成功的轉化。第二：幾何性質的 判定，如兩直線是否平行、兩全等三角形的判定、四點共圓 ，…等等。 例題 1. 已知：兩圓內切於點 A ，大圓的弦PQ ，切小圓於點R 。 求證：AP ：AQ=PR ：RQ 圖 1 結構分析：如圖1 (3) Why ：此即證AR 平分∠PAQ ，有兩圓 What ：RC是兩平行線間的截線 內切，造公切線及弦，以形成弦 Theorem ：兩平行線的內錯角相等