万有引力场.DOC

第五章 万有引力 5-1 月球的质量是地球质量的1/81。直径为地球的3/11，计算质量为65kg的人在月球上所受的月球引力。 解：设月球，地球的质量分别为，它们的半径分别为，人的质量为m，由万有引力定律可知 ： 人在月球表面受力为： ，由，得 ，而则 5-2 根据地球的半径和引力常数G的值，估算地球的质量和平均密度。（已知） 解：设地球的质量为由题意可知 由密度的定义：知地球的平均密度为 5-3 如图5-3所示，有两个半径分别为和的同心薄壁球壳，质量分别为和。将质量为m的质点P置于距球心O分别为处，求（1）质点P所受的引力；（2）如去质点在无限远处的引力势能为零，计算质点P在以上三处的引力势能。 解：（1）A点在两球壳内部，此处质点所受的引力为。 B点在两球壳之间，此处质点只受内部球壳的引力： C点在两球壳的外面，此时质点受两个球壳的引力： （2）由引力势能可知质点在A、B、C各点的势能为 5-4 如图5-4所示，在一半径为R、质量为m’、密度均匀的球体中挖了一个半径为R/2的球形空腔，在P点处放置一质量为m的质点，求质点所受的引力。 解：设打球未被挖空时，对质点P的引力为F，打球被挖去一个小球之后，对质点P的引力为，只有一个小球时 ，小球对质点P的引力为则 被挖出的小球质量为： 由万有引力定律得： 由以上式子可得 5-5 当一物体从地球表面竖直向上或向下移动一小距离时，计算重力加速度变化规律。 解：（1）物体在地表面上移动高度为h时，所受的万有引力为： 此处重力加速度为： （2）物体在地面以下移动h时，重力加速度为 ，式中的M为半径为的地球内部质量。设想地球的质量是均匀分布的，则 所以 从（1）、（2）计算可以看出，在地球表面的重力加速度最大，向上或向下移动时重力加速度都变小。 5-6 有一质量为m的质点，从地面高空h处下落，设空气的阻力不计，且h与地球半径相比要小的多，试证质点落地时的速率为。 证明：质点势能的变化 考虑带入上式得： 根据机械能守恒定律得： 即所以 5-7 同步卫星在赤道上空以和地球自转的角速度相同，为了满足这一要求，同步卫星应位于赤道多高的地方？其线速度为多大？ 解：同步卫星作圆周运动的角速度和地球自转的角速度相同，而地球自转的周期为24小时，因此， 万有引力提供向心力 所以： 卫星的线速度为： 5-8 质量分别为3m和m的两个质点，它们相距为d。如以质点3m为原点，试求它们的引力场为0的位置。 解：以3m质点所在的位置为原点，建立如图5-8所示的坐标系，设想在3m和m之间的p点引力场为0，则置于该点的任意物体所受的引力的合力必为0。由万有引力定律可知： 解得： 5-9 质量分别为的两个质点，最初它们相距很远，并处于静止状态，在万有引力作用下，它们相互趋近，试证两质点相距为r时，它们的相对速度为。 证：选择作为研究系统，两质点相距无穷远时引力势能为零，在它们趋近的过程中同时满足机械能守恒和动量守恒的条件，设相距r时，它们的速度分别为和，相对速度为。则易得： 由动量守恒定律： 由机械能守恒定律： 联立上面三式可得两质点的相对速度为： 5-10 一火箭从地球向月球直线运动，火箭发射不久燃料就用完，问：（1）火箭距地球多远处加速度为零？（2）为使火箭能通过这一点，并达到月球，火箭从地球发射时的最小速度为多少?（地球的质量，月球的质量为，月球至地球的距离为） 解：（1）设火箭距地球为r时，其加速度为零，亦即受合力为零，考虑地球与月球之间的距离远大于它们自身的线度，将地球和月球当作质点来处理。由万有引力定律和火箭所受合力为零得知：解得： （2）选择火箭、地球、月球为研究系统，系统处于不受外力作用，其内力为保守力，故机械能守恒。考虑极限的情况，火箭距地球为r时，速度为零，列出机械能守恒方程： 整理得： 5-11一半径为R、具有均匀密度的星球，是由万有引力将处于很大范围内的星际尘埃凝聚而成的，求该星球在凝聚过程中所发生的能量变化。 解：当星球的半径由r增加到（r＋dr）时，质量由m增加到（m＋dm），所增加的质量dm是由无穷远处的尘埃在万有引力作用下，凝聚到星球表面上，此过程中系统的势能变化量为： 由于代入上式并积分 所以总能量的变化为：即星球在凝聚过程中，系统势能减少。 5-12 如线密度为的细线弯成半径为R的圆环，试求一质量为m的质点放在环中心时的引力势能和引力。 解：由于圆环上各点距圈心距离都为R，势能为标量，故圆环上各点在圆心处产生的势能且有标量的叠加性，我们可直接考虑整个圆环在圆心处产生的势能 ，M为圆环的质量， 则 由于各质点元对质点的引力的方向是由质点指向各质元的，根据圆环的对称性，可知整个圆环对应于圆心处质点的引力为零。 5-13 ?O R1 R2 ?A ?B ?C ?P 图 5-