第06讲_随机过程的线性变换1.pdf

随机过程的线性变换随机过程的线性变换 李勇 信息与通信信息与通信工程学院程学院 liyong@bupt.edu.cn 变换的基本概念和基本定理 变换的定义 变换可以看作为变换可以看作为信号通过系统信号通过系统，，所以随机过程的变换就是所以随机过程的变换就是 分析随机过程通过系统后的响应。 X (t ) Y ( t) T [ X ( t)] Y ( t) x (t, e ) T y (t ,e ) i i 试验结果 随机过程的变换分为线性变换和非线性变换两大类。常见 的线性变换包括线性放大器、线性滤波器；常见的非线性 变换包括平方律检波器、全波线性检波器。 2 1 变换的基本概念和基本定理 线性变换 设有任意两个随机变量设有任意两个随机变量 和和 及任意两个随机过程及任意两个随机过程X ((t )) AA AA 11 22 11 和X 2 (t ) ，如果满足 L[A X (t ) + A X (t )] A L [X (t )]=+ A L [X (t )] 1 1 2 2 1 1 2 2 则称 是线性变换。 叠加性、均匀性 L 线性时不变线性时不变 对于线性变换 ， ，如果 L Y(t) L[ X (t)] Y(t + ε ) L[ X (t =+ ε )] 其中 为任意常数，则称 是线性时不变的。 ε L 3 变换的基本概念和基本定理 线性时不变系统的基本性质 xx ((tt )) LL yy ((tt )) h(t ) L[δ (t )] 冲激响应 y (t ) x (t ) =∗h (t ) +∞ +∞ ∫−∞ x (t =−τ )h(τ )dτ ∫−∞ x(τ )h(t =−τ )dτ H (ω) F [h(t )] 传递函数 Y(ω) X (ω) H (ω) 对于随机过程通过线性系统，中心问题是：给定输入的概率 分布或数字特征，求输出的概率分布或数字特征 4 2 变换的基本概念和基本定理 线性变换的定理1 设Y((t)) L[[ X ((t)])] ，其中 是线性变换，则 L E [Y (t)] L{E[ X (t)]} 即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入 的数学期望通过线性变换后的结果。