立体几何中“几何法”与“向量法”的解题功能比较.pdf

维普资讯 ·4O· 重庆 《数学教学通讯~2005年 12月(上半月)(总第 229期) 立体几何中“几何法与“向量法’’的解题功台2比较 (甘肃省临泽一 中 734200) 尚廷武 自2002年秋季开始，我校高二数学立体几 面 BDP，不妨设 C|P= ，在 △DCP|中，DC一 何部分的教学使用了9(B)教材，即用空间向量 1 口，COS；DcP|=一COS A1D一一 ÷，所以 研究立体几何问题．很快，老师们便发现用空间 ’) 0 向量研究立体几何问题，多有令人耳 目一新之 DP|。= 。+口。+÷ax．同理A1P。= 。+9a。 o 处，特别是求角与距离 问题时的 “以算代证” 14 法，更是简化了传统方法中的诸多繁冗．所以很 一 了 。 由 P|_上_平面BDP|可得 P|_上_DP|，从而 多老师在教学中便淡化 了传统教材中研究立体 几何问题的方法，但相应地，也产生了一些新的 1D。=A1P。+DP|。，即 。一2ax+a。=0，解 1 问题． 得 =口，即 P|c=÷CC1=口时，A1P_上_PD， o 本文以一立体几何典型题 目为例，比较两 而由面面垂直的判定及性质定理又有 P_l_ 种教材中 “几何法”与 “向量法”的解题功能，并 BD，从而可得 P|_上_平面 BD|P． 提出一些思考． 如图1，在斜三棱柱 1B1C1一ABC中，底面 是以 ABC为直角的等 腰三角形，AC一2a，BB1 — 3a，D为AC的中点， 且 D_l_平面 A8C． 图 2 图 3 (1)求 AB1与底面 图 l 法2：如图3，基底法 (1)设 口=荫 ，b= ABC所成的角 ； ，c=瓦 为空间的一组基底 ，由题意-,-l~J， (2)在棱CC上是否存在一点P，使得 P 口 ·b= 口 ·c= b ·c一 0． _l_平面BDP?若存在 ，试确定点P|的位置；若不 = +商 = 存在，请说明理 由． + +窳 一 法 1：如图2，几何法 (1)过点B 作BE_l_ 一 昔口+寺b+c． 平面ABC，垂足为E，联结DE、BE、AE，则易 又知瓦 为平面ABC的一条法 向量，故 证ABED为平行四边形 ，且 BAE为AB 与 底面ABC所成角． AB 与平 面 ABC 所 成 角 的 正