看似崎岖最寻常 成如艰辛却容易——数列中一类不定方程通解探秘.pdf

· 40 · 中学教研 (数学) 看 似 崎 岖 最 寻 常 成 如 艰 辛 却 容 易 — — 数列中一类不定方程通解探秘 ●孙小龙 (如皋市第一中学 江苏如皋 226500) 1 问题呈现 则r=4；若kI4，则 ≥ =2，式(1)不成立． 例 1 各项均为正数的数列 {a}中，设 S= C C4 1 1 1 综上所述，所求集合为 {(1，3，4)，(2” 一i一 + 口： + … + 口 ， = + + … + ， 且 (2一 1，2 一i，2 )}(其中 ∈N )． ．s)(1+ )=2，n∈N’． 学生普遍反映：第2)小题较难 ，方程 中含有 3 1)设 b：2一S，证明：数列 {b}是等比数列； 个字母，具有很多的不确定性，没有 明确的思路和 化简方向，无从下手，只能选择放弃．甚至有些教师 2)设c=÷n，求集合{(m，k，r)Ic+c= 评讲时也觉得无从下手，认为参考答案看得懂却想 2c，mkr，m，．j}，r∈N }． 不到，尤其是与平时同类试题的解题方法有很大不 (2014年江苏省南通市三模试题第2O题) 同，于是也选择了放弃．是否果真如此?让我们从 1)略． 常见的同类试题的解题方法中来分析、探秘、追寻 2)解由第1)小题知2一Js：(丢)，故 答案． 2 旧题反思 an 1 ， 例2 设m，n，p∈N’，m凡p，a =2，问：数 列 {a}中是否存在 3项a，a，a，使数列 a，a， 即 c= a。是等差数列?如果存在，求出这3项；如果不存 在，说明理 由． 由c+c=2c，得 解 假设存在3项a，a，a，使数列a，a，a + ：2． (1) 是等差数列，可得 Ck 2an=am+ap 又当凡t2时，丛： l，于是数列 {}从第2 即 2” =2 士2， (2) C ” 等式2边 同除以2 可得 项开始依次递减． 2 卜 =1+2 -m … ．‘ ①当m≥2时，若k—m≥2，则 因为n+1一m∈N，P—mEN ，所 以2” 卜为偶 数，而1+2 为奇数，式 (2)不成立，故不存在 3 ≥ = =