数项级数中阿贝尔判别法的必要条件的证明.pdfVIP

维普资讯 第 坶 卷 第 l期 贵州大学学报 (自然科学版) 18No 1 2001年 2月 JournalofGuizhouUniversity(NaturalScience) Feb 2001 数项级数 中阿贝尔判别法 的必要条件 的证 明’ 陈韶华 (贵州 民族学院社会学系 ．贵阳 550025) 摘 要 利用Dirichlet判别法的必要条件 ，来证明阿贝尔判别法的必要条件的成 立，并推广刘广义积分和含参变量的积分的应用上 关键词 阿贝尔 ，必要条件 ，证 明 中图分类号 。l73 文献标识码 A 文章编号 1000—5269(2001)01—0067—133 数学分析的教科书中，对阿贝尔判别法的必要条件 ，均未加 以论及 ，然而在教学 中，会有 学生 问及 阿贝尔判别法的必要条件的证 明，因此 ，本文特对阿贝尔判别法的必要条件加以证 明，并推广到广义积分和含参变量的积分的证 明上 ，证明如下 ： 定理 1 数项级数 “收敛的充分必要条件是 ，可 以分解 “=a．b ，使 ∑n 收敛 ，当 ”一。。时 6 单调有界． 证 明定理的必要性 即数项级数 收敛．必存在适当的分解 “=n6，且使 ∑n 收敛 ，当 ”一oo时，6 单调有界 ． 证明 由Dirichlet判别法 的必要条件成立可知，必然存在适当的分解 “= ，使 ∑ 部分和有界 ，当 一。。时 单调趋于零 ． 必存在 {使当 一。o时 j也单调趋于零，故 由狄里克莱判别法可知 ∑ 岛j收敛 ． 同理有 ∑a 收敛 令 =a ，6=风j 则 “ a6n荟a i1‘= a以 收敛 ， 同时当 ”一。。时 b 单调有界证毕 ． 定理 2 函数项级数 ∑ (z)在 x上一致收敛的充分必要条件是 ，存在分解 “(．)= ． nn(z)6()，使善 (z)在X~--N~N，对于每一个固定的z，数列6()单调，而对任 意 z和 都有 f6(32)f≤M (与 z和 无关的定数) 证明定理的必要性． 收稿 日期 ：2000 11—16 作者筒介 ：陈韶华 (1958一)，男 ．讲师 维普资讯 68 · 贵州大学学报 (自然科学版) 第 18卷 即，函数项级数 ∑ “()在 x上一致收敛 ，则必存在适 当的分解 “()=。 ()b ()，使 ∑。(z)在 x 上一致收敛 ，对于每一个 固定的 z，数列 b ( )单调 ．而对任 意 和 ， 都有 {b(){≤M (与 和 无关 的定理) 证明 由Dirichlet判别法 [31的必要条件成立可知，必然存 在适当 的分解 “(z)=。 () ()，使 ，％()的部分在 x 上一致有 界，对于每一个 ，数列 ( )单调 ．并且 函 数列 { (){在 x 上一致收敛 于零 ． 必存在 ()对于任意的 在X 内单调 ，且 t (){t在 x上一致收敛 于零 ．故而 ，有 a ()。 (z)在 x上一致收敛 ，同理有 a()·岛{()在 X也一致收敛 令 ：n ()=。(z) 孝()，b()= 孝() 则有 “() ％()6 () 。(z) {() ‘j1() = ∑ 。(z) ()一致收敛 而且 当 n一。。时，显然 b (5E)=岛{(z)的函数列 { {(z)l在 x上一致有界 ，定理证毕 利用 Dirichlet判别法 ，还可 以推广到广