幂级数分析性质的推广.pdfVIP

第 23 卷第 2 期 2001 年 3 月 Vol. 23 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2001 崔万臣 (唐山师范学院 数学系，河北 唐山 063000) 摘 要：幂级数的和函数在其收敛区间上具有较好的分析性质。即：连续性、逐项可积性和逐项可微性。文 章把连续性和逐项可积性推广到幂级数的收敛域上，并给出幂级数逐项求导与逐项积分后得到的幂级数与原幂级 数收敛域之间的关系。 关键词：收敛区间；收敛域；一致收敛；逐项可导；逐项可积 中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1009-9115 （2001 ）02-0018-03 幂级数和函数的分析性质是级数理论中的重要内容。现行教材一般只在幂级数的收敛区间上给出和函 数的分析性质。 我们知道，幂级数的和函数f (x ) a x n 的定义域是该幂级数的收敛域，而收敛区间(r, r ) 不同于 n 收敛域，它只是和函数f (x ) 定义域的一部分。笔者认为，只在幂级数的收敛区间上给出和函数的分析性质 欠全面。本文将把幂级数和函数的连续性和逐项可积性推广到幂级数的收敛域即和函数的定义域上，并给 出逐项积分、逐项微分后得到的幂级数与原幂级数收敛域之间的关系。 一般地说，和函数的分析性质的证明往往要借助于一致收敛，因此我们先引述幂级数的一个重要性质， 即：幂级数在收敛区间内闭一致收敛。并给出以下 引理：设幂级数a xn 的收敛域为(r, r ] ，则a R, a r ，a xn 在[a, r ] 一致收敛。 n n n x n n   证：x [a, r ] ，a x a r n n   r   已知数项级数a rn 收敛，且 n 2 3 n x x x x       1    0       r r r r      