一般可测函数积分.pdfVIP

3.1.2一般可测函数的积分 E 以下均设 是可测集。 + − 定义3.1.7 设f ∈M E ，若 和 至少有一个可积，则称 ( ) f f f + x dx − f − x dx f x dx : ( ) ( ) ∫E ( ) ∫E ∫E f E 为 在 上积分。 (即积分存在) 注1、在积分定义中，要求f +, f − 至少一个可积， 为了避免出现∞−∞的情形。 定义：当上式右端两个积分值均有限，即f +,f − 可积 则称f 在E 上Lebesgue可积，简称可积。 L E 1 E 上可积函数全体记为 ( ) 注：有界可测函数可积的等价条件(定理3.1.10) 留作课堂阅读。 注2 、由非负可测函数积分性质， f x dx f + x =+f − x dx ∫E ( ) ∫E ( ) ( ) f + x dx =+ f − x dx 进而， ∫E ( ) ∫E ( ) 定理3.1.8 设f ∈M E 。f ∈L E 当且仅当f ∈L E ，且 ( ) ( ) ( ) f x dx ≤ f x dx . ∫E ( ) ∫E ( ) 2 注3：Riemann积分和Lebesgue积分初步关系 f 1) 在 Riemann 积分中， 的 Riemann 可积推不出f 的 Riemann 可积。 ⎧1 1 sin x ∈ 0,1 例如，考虑函数 f x ⎪ ( ) ( ) ⎨x x ⎪ 0, x 0 ⎩ 则 在 （广义）Riemann 可积，但是 不可积。 f 0,1 f [ ] 2) Diechlet函数Lebesgue可积，但Riemann不可积。 3 可积函