例析构造法解三角题.pdfVIP

中学数学研究 2008年第6期 例 析 构 造 法 解 三 角 题 甘肃省兰州连城铝业有限责任公司中学 (730335) 宋 波 “构造法”是指为解决某个问题先构造一种 的思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要的 数学形式(如几何图形、代数式、方程式等)，寻 数学方法，是一种富有创造性的解决问题的方 求与问题的某种内在联系，使之直观明了，起到 法． 化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思 三角问题千变万化，题型丰富，某些问题的 路、方法．此法重在“构造”、深刻分析、正确思维 解答技巧性强，如果只用常规方法去处理可能 和丰富联想．它体现了数学中发现、类比、化归 很复杂，甚至难以奏效．若能根据题设条件和题 坐 业 幽鲁 为C，D．则由AP=PB=2得AC=BD=1．因 + 2 r2． 为a／／OC，b／／OD，所以 COD=60。． 例6 求到A(1，2，3)和B(2，一1，4)距离 如图4，在平面口内，以。 相等的点M 的轨迹． 为原点， COD的角平分线为 分析：由l AMl=l BMl，所以 轴的正半轴建立直角坐标系． (z—1) +(Y一2) +( 一3) = 令 C(√3 tl，tt)，D(√3 t2， ~／( 一2) +( +1) +( ～4) ，化简整理得： 一 t2)，则P点坐标( ，Y)满足 图4 2x一6y+2 一7=0，所求点M的轨迹为一平 ： ( + ：)， = ．因 面，而且是AB的垂直平分面． 例7 已知A(1，2，一1)，B(2，0，2)，在 为CD=2 ，所以( tl一 t2) +(z1+t2) xOz平面内的点P到A与B的距离相等，求点 2 P的轨迹方程． =12，即吾+Y ；1，故P点轨迹是EF的中垂 分析：因为点P在xOz平面内，设P点坐 面上以0为中心，长轴长为6，短轴长为2的椭 标为( ，0， )，由AP=BP有： 圆． √( —1) +(一2) +( +1) = 评注：本题的关键是如何将动点在空间所 ~／( 一2) +0 +( +2) ，整理得： +3z一1 满足的条件转化为动点在某个平面内所满足的 条件，再利用解析法求轨迹．若把条件中“异面 =0，即点P在xOz平面上的轨迹方程为 + 直线口，b成60．角”改成“异面直线口，b成90。 3 一1=0，轨迹为一条直线． 角”．则P点的轨迹为圆． 评注：本题也可利用上题的结论，到两定点 三、空间问题向量化 距离相等的点的轨迹是一个平面，又在xOz平 我们知道，在空间直角坐标系下，直线z的 面上，所以点P的轨迹是两个平面的交线，即 直线． 标准方程为：兰 = = ≥ ，平面的 通过这类问题的解决，有利于培养学生综