北师大版高中数学选修2-3课件：第二章 概率 §5 第1课时.ppt

§5　离散型随机变量的均值与方差 第1课时　离散型随机变量的均值 某种种子每粒发芽的概率都为0.9.现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为____________. 提示：　由题意，每粒种子不发芽的概率是1－0.9＝0.1， 所以1 000粒中有1 000×0.1＝100粒需要补种， 所以补种的总数为200. (1)设随机变量X的可能取值为a1，a2，…，ar，取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．则定义X的均值为___________________________________＝______________________. X的均值也称作X的__________ (简称________)，它是一个数，记作________，即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr. 求离散型随机变量X的均值的步骤 1．理解X的意义，写出X可能取的全部值． 2．求X取每个值的概率． 3．写出X的分布列(有时可以省略)． 4．利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值． (3)若η＝aξ＋b，其中a，b为常数，则P(η＝axi＋b)＝__________，E(aξ＋b)＝__________. 特别地：(1)a＝0时，E(b)＝_______， (2)当a＝1时，E(ξ＋b)＝__________. 正确理解离散型随机变量均值 1．均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． 2．随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别．随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值． 3．随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 答案：　B 答案：　A 3．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是____________. [思路导引]　首先确定随机变量X的可能取值，求出每个X值对应的概率，写出X的分布列，最后利用定义求出均值． 求离散型随机变量X的数学期望的步骤 1．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用X表示得分数； (1)求X的分布列； (2)求X的期望． 从4名男生和2名女生中任选3人参加纪念新中国成立60周年演讲活动，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值． [思路导引]　X服从超几何分布，(1)可直接利用超几何分布的分布列求解，(2)既可以根据分布列用定义求，也可以利用超几何分布的均值公式求． 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值． 2．在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8，那么在本次运动会上： (1)求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率； (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为ξ，求ξ的数学期望Eξ(即均值)． (12分)某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)． [思路导引]　分情况求出各种期望值，选择费用最少的即可． [规范解答]　①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)； 2分 ②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元， 发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1， 损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)， 所以总费用为45＋40＝85(万元)； 5分 ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元， 发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15， 损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)， 所以总费用为30＋60＝90(万元)； 8分 ④若联合采取甲、乙两种预防措施， 则预防措施费用为45＋30＝75(万元)， 发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015， 损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)， 所以总费用为75＋6＝81(万元).11分 综