6.7 定积分的几何应用.ppt

另解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 解 练习：第六章练习三 二.1 三.5 1、平面图形的面积 四、小结 2、旋转体的体积 绕 轴旋转一周； 绕 轴旋转一周； 3、平行截面面积为已知的立体的体积。 参数方程； 极坐标方程。 4、求弧长 直角坐标方程； 练习：第六章练习三 除了第五题以外都可以做 §6.7 定积分的几何应用 ——将一个量表为定积分的简便方法 定积分的元素法 第一节 定积分的元素法 回顾 曲边梯形求面积的问题 一、问题的提出 a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值 a b x y o （4） 求极限，得A的精确值 提示 面积元素 二、使用元素法求量U的条件和步骤： 由分割写微元 由微元写积分 步骤： 思考题 微元法的实质是什么？ 微元法的实质仍是“和式”的极限. 三、定积分在几何学上的应用 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 一、直角坐标系情形 （图1）的面积： A y x=f(y) （图1） 解 先求两曲线的交点。 另解 选 为积分变量 解 设椭圆方程为 由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍． 以x为积分变量，得 练习：第六章练习三 一.2,6 三.1 设曲边梯形的曲边参数方程为 其面积的计算公式： 2.参数方程情形 椭圆的面积 曲边扇形面积元素 曲边扇形的面积公式 3. 极坐标方程的情形 解 由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。 解 利用对称性知，所求面积为上半部的两倍， 练习：第六章练习三 一.3 旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 体积 1. 旋转体的体积 x y o 旋转体的体积为 解 例1 * 如图，所求体积为 解 椭圆的图形关于坐标轴对称，由对称性知 例3 练习：第六章练习三 一.4,7 三.4 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 如果知道了一个 立体垂直于某个定轴 （记为x轴）的各个截面面积 A(x)，那么，这个立体的体积元素为 立体体积 解 取坐标系如图所示。 垂直于x轴的截面的面积为 所求立体体积 平面曲线的弧长 弧长元素（弧微分）基本公式 弧长 解 星形线在第一象限部分的方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 弧长 弧长