三角函数的图形.DOC

§三角函數的圖形 主題1：弧度 1.弧度的定義：單位圓上弧長為1的圓心角稱為1弧度。 (1)弧度：弳度量，即，弧度(弳)≒ ※.弧度角度：；角度弧度：。 (2)度量化成弳度量：(弧度)≒0.01745(弧度) ※當我們用弧度來表示角的大小時，習慣將”弧度”兩字省略不寫。 (3)如圖扇形AOB中，半徑，中心角，弧長。 　則，扇形面積。(以弧度表示) ※弓形面積：。 ※周長：。※重要範例 1.鐘面上，8點20分時，時針與分針的銳夾角(1)度數為 ( 　　　　　。(2)換算成弧度為(　　　　　。【解答】(1) 130(　(2)π 【詳解】因為分針走了20分鐘，那麼時針走了20 (分鐘，即分鐘所以時鐘在8點20分時，時針與分針共夾了( ( 40 () ( 20( ( 6( ( 130(即130 ( (( 弧度 2.兩輪半徑分別為1公尺及3公尺，兩輪中心相距8公尺，今將一皮帶交叉繞此兩輪，使轉動時兩輪之轉向相反，求皮帶長 ( 　　　　　。【解答】公尺 【詳解】內公切線段長，故皮帶長 ( 2 ( 4 （∵　　∴　　∴　∠AO1E (∠DO2E ( 60(） 隨堂練習 ( 　　　　　。【解答】4π ( 6 【詳解】( 2：1　∴　，　∴　∠TOP (，同理∠T (O(P (∴　∴　皮帶 ( 2．( 1．( 2．3( 4π ( 6 3.一扇形周長為6，當此扇形有最大面積時，其半徑為　　　　　，而圓心角為　　　　　弧度。【解答】；2 【詳解】設扇形半徑為r，圓心角為θ，則弧長為rθ　∴　周長2r ( rθ ( 6，面積A (r2θ由A.M.G.M.知　(　　3 (　∴　9 ( 4A　　A當2r ( rθ時，A (為最大面積，此時θ ( 2　∴　2r ( 2r ( 6　　r (( 隨堂練習固定，證明：當其中心角θ ( 2時，面積A為最大。 【證明】弧長s ( rθ， ( 2r ( s ( 2r ( rθ，A ( πr2．(r2θ由算幾不等式，， 2r2θ ( 4A　∴　A (∴　當2r ( rθ　　θ ( 2時，A (為最大值　∴　Q.E.D. 4.設一扇形之面積恆為定值8，試求(1)扇形的最小周長。(2)此時扇形的中心角θ之弧度。【解答】(1) 8(2) 2 【詳解】設扇形之圓半徑為r，中心角為θ，則面積r2θ ( 8扇形周長p ( 2r ( rθ ( 2( 2當2r ( rθ時，周長p ( 8為最小值，此時θ ( 2 隨堂練習k，試求此扇形的最大面積，並求此時扇形的半徑。 【解答】； 【詳解】設扇形半徑為r，圓心角為θ，則k ( 2r ( rθ，面積a (r2θ由算術平均數幾何平均數可得　　　　2a ( 4a　∴　 a故當2r ( rθ時，即θ ( 2時，扇形有最大面積此時，將θ ( 2代入k ( 2r ( rθ可解得半徑r ( 5.兩條公路k及m，如果筆直延伸將交會於C處成60(夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在兩公路各距C處300公尺的A，B兩點間開拓成圓弧型公路，使k，m分別在A，B與此圓弧相切，則此圓弧長(　　　　　公尺。（公尺以下四捨五入）（1.732，( 3.142） 【解答】363 【詳解】r (((100，(APB ( 120( (∴ ( 100．( ()( 363 6.一直圓錐的底半徑為3，高為4，今沿其一斜高剖開，展成一個扇形，則此扇形的中心角θ ( 　　　　　。【解答】216( 【詳解】∴　直圓錐的底圓周的周長(扇形的弧長　2π(3) ( 2π(5)．　 　θ (( 6 ( 36( ( 216( 隨堂練習 【詳解】　(　( 5( ( 8(∴　( ( 7.如圖：一直立圓錐之底圓直徑為5，斜高，一螞蟻從A點沿著錐面繞行一圈，至邊上之P點，若，則其最短路徑為　　　　　。 【解答】5 【詳解】從剪開，展成一扇形，AA(弧長為5π　 　∠ACP ( 60(故最短路徑為，由餘弦定理得 隨堂練習，斜高為，，有一隻螞蟻由A出發(1)繞錐面一周到D。　(2)繞錐面一周回到A。試各求最短的路徑長。 【解答】(1) 2(2)((1) 【詳解】底圓周的周長 ( 扇形的弧度　　2π() ( ((1)θ　　θ ((1)如圖，( ()2 ( ((1)2 ( 2(( 1)cos45(( 2 ( 4 ( 2( 2(( 1) ( 4(　 ( 2(2)如圖， 所求路徑長 ( ( ((1) 8.a ( sin1，b ( sin2，c ( sin3，d ( sin4，e ( sin5，則a，b，c，d，e大小順序為　　　　　。 【解答】b ( a ( c ( d ( e 【詳解】a ( sin1 ( sinsin57.3(b ( sin2 ( sinsin114.6( ( sin65.