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物理规律或工程科学与技术问题的数学表达式中，有许多是微分方程。 物理和工程技术问题用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程。 第一节 数学物理方程的导出 一、弦振动方程 二、热传导方程 如果在物体中存在着热源，热源强度（单位时间在单位体积产生的热量）为 F( x,y,z,t )。则热传导方程应为 上 页 下 页 结 束 返 回 第7章 数学物理定解问题 第七章 数学物理定解问题 内容 几类典型的数学物理方程的导出 定解条件 方程的分类 达朗贝尔公式 例 质点力学 —— 质点的位移 电路 —— 电流、电压 以时间为自变量的常微分方程 空间连续分布的物理场—— 静电场 电场强度或电势 电磁波 电场强度或磁场强度 以时间和空间坐标为自变量的偏微分方程 个性 边界条件 初始条件 定解条件 泛定方程 在给定的定解条件下，求解数学物理方程 —数学物理定解问题 定解问题 解决问题 数学表示 物理规律 —— 共性 物理模型 一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦上各点的运动规律。 柔软性： 发生于弦中的张力其方向总是沿着弦线的切线方向 均匀细弦： 线密度为常数，弦线可以ol来代替 平面微小 振动： 若用u(x,t)来表示弦线在t时刻的形状，则微小振动是指 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程 （2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 据牛顿第二定律 u方向运动的方程可以 描述为 作用于小段 的纵向合力应该为零： x u B A C ? 1 ?2 (1) (2) 利用微小振动近似 ?u ?很小，所以有 (2)简化为 每个时刻都有：ds ? dx ，长度 ds 不随时间而变 张力T 是常数 T = Const T 与 x 无关 将近似关系式代入(1) 得 即 令 弦振动方程 波动方程 一维波动方程 推广1——受迫振动 设均匀弦沿位移方向还受到外加横向力的作用，单位长度受力为 F ( x,t ) ,则方程(1) 为 若令 可得均匀弦的受迫振动方程 非齐次项 非齐次一维波动方程 齐次一维波动方程 推广2 —— 二维、 三维波动方程 非齐次 齐次 齐次 非齐次 二维：均匀薄膜的微小横振动 三维：流体力学与声学方程、电磁波方程 推广3 —— 均匀杆的纵振动 段的运动方程为 可得 　 这就是杆的纵振动方程． 对于均匀杆，ρ和Y是常数 　 其中 由于物体内各处的温度不均匀，热量从温度髙的地方流向低的地方，叫做热传导。 热传导问题是研究温度在空间中的分布和时间中的变化。 热流强度:单位时间通过单位面积的热量 热传导定律——傅立叶定律 分量公式 热传导 热传导系数 物体的比热 物体吸收（或放出）热量dQ ，将引起温度 的升高（或降低） d u。 密度 物体的比热 因为体积元很小 因此 （3） 热传导方程 o (x,y,z) z x y (x+dx, x+dy, z+dz) dx dy dz 取物体内部体积元为一平行六面体 沿x轴方向，热流分量qx 左表面－右表面 沿y轴方向，热流分量qy 前表面－后表面 沿z轴方向，热流分量qz 下表面－上表面 这些热量引起温度的变化。将上式代入(1)得 即 对于均匀各向同性的物体，K , c , ? 是常数。所以 则得方程为 令 齐次三维热传导方程 （2） 推广1——有源热传导 则得非齐次的三维热传导方程为 令 推广2——扩散方程 为扩散系数 推广3——泊松方程和拉普拉斯方程 在热传导问题中，物体周围的环境温度不随时间而变 长时间 ut = 0 第二节 定解条件 边界条件、初始条件 ——定解条件 泛定方程 数学物理方程 普遍性 特殊性 一、初始条件 与时间有关的物理过程，必须给出初始条件。 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点 的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度． 1，波动方程 2，热传导方程（或扩散方程） 初始状态指所研究的物理量u的初始分布（初始浓度分布、初始温度分布） 例1 一根长为 的弦，两端固定于 和 ,在距离坐标原点为 的位置将弦沿着横向拉开距离 ，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 x u o b l h 图 9 .5 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有 初始位移如