复习对于连续型随机变量,我们需要掌握那些内容.doc

复习：对于连续型随机变量X = x的概率没有什么意义，而必须了解事件a( ( ( b的概率，这个概率是一个积分形式： 2、清楚什么是概率密度函数：f (x) 我们用密度函数f (x)在[a, b]区间上的面积来表示随机变量X落在该区间的概率解释：为什么f (x)被称为概率密度函数？（是不是很类似我们以前学过的频率密度公式？） 3、清楚什么是累积分布函数：F (x) 4、分布函数与概率密度函数的关系 5、3????随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望 定义X是离散型随机变量，X取值，其相应的概率为则称 为X的数学期望。若X是连续型随机变量，有概率密度函数f（x），则称 为X的数学期望。 令为无限分割后区间的组中值， （回忆一下运用分组资料计算平均数的情形：） ，当时， 对上式求极限得到： 从随机变量数学期望的定义看出，随机变量的数学期望就是随机变量所有可能取值的加权平均数，类似于我们前面学过的一组数字的算术平均数。从形式上看，确实如此，只不过数学期望是用概率加权，而一般平均数用频率加权，但它们实质上是不同的。一般平均数说明的是实际存在的平均水平，数学期望反映的则是预期的平均结果。因为概率是一种事前的预期，所以用概率加权得到的数学期望是事前预期的平均数，而非实际存在的平均水平。 例：某国际旅行团规定每位旅客须参加意外险，保险赔付额是每位旅客$10000。假如每次旅游发生事故的概率为1/200，则平均的保费应是多少？ 解：保险公司付给每位旅客$10000的概率是0.005（1/200），令X代表保险公司付给旅客的赔付金，则X的概率分布为： X 0 10000 0.995 0.005 则X的数学期望值为： E（X）=0×0.995+10000×0.005=$ 50 即保险公司预期每位旅客的支付是$50, 如不考虑别的因素，长期或大量地来看，保险公司收取每人$50的保费正好是不赚不陪。当然，保险公司还要考虑各种管理费、利润等，实际上所收的保费要高于这个数字。 例：设X为某种产品的使用寿命（小时），其概率密度为： 试求该产品使用寿命的数学期望。 解：=200（小时） ? 2、数学期望的性质 1）； 2）3）4）5）6）若相互独立，则 二、随机变量的方差 方差反映的是随机变量离数学期望的程度，它是随机变量所有可能取值与其数学期望的离差平方的数学期望，即用概率加权的平均离差。 方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方的平均数 在概率论中，我们则是通过概率加权来进行平均的。 1、定义：设X是一随机变量，若存在，则称它为X的方差，记作： ，称为均方差或标准差。 若X为离散随机变量，其分布律为……，则 若X为连续随机变量，其密度函数为f（x），则 从方差的计算可以看出，方差反映的是随机变量偏离数学期望的程度，它是随机变量所有可能取值与其数学期望的离差平方的数学期望，即用概率加权的离差平方。随机变量的方差反映的是风险和不确定性的大小。 风险是指人们预期的收益与实际收益之间的差异，这种差异既来自客观世界的不确定性（即外在的不确定性），也来自人们对客观世界的认识能力的局限性（通常意义的内在不确定性）。 不确定性是指事物运行过程中随机性、偶然性的变化或不可预测的趋势。 例 现有股票A与股票B在未来不同经济状况下的可能报酬率如下： 经济 状况 各种状况发生 的概率 可能的报酬率（%） 景气过热 0.1 30 -45 繁荣 0.2 20 -15 正常 0.3 10 15 衰退 0.3 0 45 萧条 0.1 -10 75 试比较两种股票的预期报酬率和标准差。 解：（1）= 0.3×0.1+0.2×0.2+0.1×0.3+0×0.3+ (-0.1)×0.1=0.09=9% = 0.0129 == 0.1136 = 11.36% （2）= (-0.45)×0.1+(-0.15)×0.2+0.15×0.3+0.45×0.3+0.75×0.1=18% ==0.2407=24.07% 即B股票的预期报酬率为18%，是股票A的2倍，但股票B报酬率的方差也比股票A大得多，购买股票B虽然预期报酬率比较高，但风险也比较大。 2、方差的性质 1）D(C) = 0 2）D(kX) =D(X) 3）D(X+b) = D(X) 4）D(kX+b)=D(X) 5）若X、Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 三、几种重要分布的期望和方差 1、贝努里分布 即 2、二项分布 3、泊松分布 4