工程力学 16.pptVIP

第16章 动能定理 ;16.1 功 的概念 ;　　由上式可见，力的功无方向意义，是代数量。当α90°时，功为正值，质点的运动效果增强；当α90°时， 功为负值，质点的运动效果减弱；当α=90°时，力与质点的位移方向垂直，力不做功。  　　　在国际单位制中，功的单位是牛·米（N·m），也称焦［耳］（J），即 1 J=1 N·m。 ;图16-1;16.1.2 变力的功 　　所谓变力, 就是作用于质点上的力的大小和方向均随作用点位置的移动而变化的力。设质点M在变力F作用下沿曲线运动， 如图16-2所示。在曲线上取一微小弧段ds，在微小弧段上的力F可视为常力，同时微小弧段ds也可视为直线段，力F在ds上所做的功称为元功， 即 ;图16-2;　　即变力在某一曲线路程上所做的功，等于这个力的切向分量沿这段曲线路程的积分。  　　式（16-2）可用直角坐标系的解析式来表达， 即 ;16.1.3 几种常见力的功 　　1. 重力的功 　　重为G的质点，沿任意轨迹曲线由M1点运动到M2点（图16-3），重力G在其路程上所做的功为 ;图16-3 ;　　2. 弹性力的功 　　设弹簧一端固定，另一端与质点M相连，弹簧原长为l0， 如图16-4所示。取弹簧原长位置O为坐标原点，弹簧中心线为轴x，其正方向指向弹簧伸长方向。 弹簧的刚度系数为k（其单位是N/m），在弹性极限范围内， 弹性力与弹簧的变形成正比， 即 　　F=-kx 式中负号说明弹性力F的方向与变形的方向相反。当质点M有一微小位移dx时，弹性力的元功为 ;因此，质点M由M1点运动到M2点的过程中，弹性力所做的功为 ;图16-4 ;　　3. 定轴转动刚体上作用力的功 　　设有一力 F 作用于绕轴Oz转动的刚体的点M上，如图16-5所示。现将力F分解为Fτ、Fr、Fz，可见轴向力Fz和径向力Fr不做功，只有切向力Fτ做功。设力F的作用点到转轴的距离为r， 当刚体转过微转角dφ时，力F的作用点走过的微弧长ds=rdφ， 力F的元功为 ;若力矩Mz为常量，则 ;图16-5;　4. 合力的功 　　设质点M受n个力F1，F2，…，Fn作用，其合力为FR。质点M沿曲线从点M1运动到点M2，由合力投影定理，各力在自然轴系的轴Mτ上的投影有 ;　例16-1 原长为　　，刚度系数为k的弹簧，与长为l，质量为m的均质体OA连接，直立于铅垂面内，如图16-6所示。当OA杆受到常力矩M作用，求杆由铅直位置绕轴O转到水平位置时，各力所做的功及合力的功。 　　解 杆受重力、弹性力及力矩作用，各力所做的功分别为 ;图16-6 ;解　杆受重力、 弹性力及力矩作用， 各力所做的功分别为 ;　例16-2 带轮两侧的拉力分别为FT1=1.6kN和FT2=0.8kN，如图16-7所示。已知带轮的直径D=0.5m，试求带轮两侧的拉力在轮子转过两圈所做的功。 　　解：作用于带轮上的转矩为 ;图16-7 ;16.2 动 能 ;16.2.2 质点系的动能 　　质点系内各质点的动能的总和称为质点系的动能。设质点系中任意一质点的质量为mi，某瞬时速度为vi，则质点系的动能为 ;16.2.3 刚体的动能 　　1. 平动刚体的动能 　　刚体在平动时，同一瞬时各点的速度相同并等于质心速度vC，故平动刚体的动能为 ;图16-8 ;　2. 定轴转动刚体的动能 　设刚体绕固定轴z转动，某瞬时角速度为ω，如图16-8所示。 刚体内任一质点的质量为mi，离z轴的距离为ri，速度为vi=riω， 则刚体的动能为 ;16.3 动能定理 ;图16-9 ;因Fτds为力F在ds上的元功，所以上式可写成 ;16.3.2 质点系的动能定理 　 质点动能定理可以推广到质点系，设质点系由n个质点组成，任取质点系中一个质点，其质量为mi，速度为vi，应用质点动能定理， 有 ;由式（16-9）知，上式等号左边两项分别为质点系在某一段路程中末了和起始位置的动能E2和E1 ，于是上式又可写为 ;　　但是，对于刚体来说，刚体内任意两质点间的距离始终保持不变，所以刚体内力所做的功总和等于零，即 ;图16-10 ;　　例16-3 平台的质量m=30kg，固连在刚度系数k=18kN/m的弹簧上。现从静平衡位置给平台向下的初速度v=5 m/s，如图16-10(a)所示。设平台作平动，求平台由此位置下沉的最大距离δ以及弹簧的最大受力。 ? 　　解　弹簧由静平衡位置（图16-10(b)）运动到最大下沉位置（图16-10(c)），其初动能为 ，末动能为E2=0。弹簧的初变形为静变形δ1=mg/k，末变形δ2=δ1+δ。 作用在平台上的力有重力W和弹性力F，平台由静平衡位置运动到最大下沉位置, 两力所做的功为 ;由动能定理， 有 ;　　例16-4 如