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第四章 同余式 §1 同余方程的基本概念 定义：设 , 则 叫做模m的同余方程 若 ,则称n为同余方程的次数。 若 ， 则 称为同余式的解 模m的一个完全剩余系中满足同余方程的个数称为满足同余方程的解数。;注：对模m互相同余的解是同一个解。 例：同余式 次数为2， 是解， 也是解，因为 所以为同一解，解数是1， ; 为了求方程的解经常有等价变形的问题， 对于同余方程同样也有等价变形，即使原同余方程和新的同余方程互相等价的若干变换。常用的变换有 （1）移项运算是传统的， （2）同余方程两边也可以加上模的若干倍。相当于同余方程两边加“零”。 （3）乘上一数k或除去一个数k，为了保持其同解性，必须（k ,m）=1，这一点和同余的性质有区别。;例 等价于 等价于 即 ， ; 同余方程和不定方程一样，我们同样要考虑以下三个问题， 即有解的条件，解数及如何求解， 一般地说，对于一般的同余方程，由于仅有有限个解，只要把模m的一个完全剩余系一一代入即可，满足同余方程的就是解。 但当模较大或次数较高时应寻求简洁而实用的解法. ;这一章主要讨论 1、一次同余方程ax≡b(mod m) ２、一次同余方程组 　x≡b1(mod m1) 　x≡b2(mod m2) 　　… 　x≡bk(mod mk) ３ 的求解。 ;;证明：由同余的定义知ax≡b(mod m)等价于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要条件是(a,m)|b。在有解的情况下，设不定方程的解为 此时同余方程有d个解，为 因当　 时， ; 2.2 一次同余方程ax≡b(mod m)的解法。 （1）化为不定方程ax+my=b 例：解同余式 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. ?化简为等价的同余方程 我们再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7)., 方程3个解为 即为 ;2) 利用欧拉定理 若(a,m)=1,则有 ax≡b(mod m),两边同乘 ，则有 即 因为 所以;例: 解同余式 解：因为(8,11)=1,所以由欧拉定理 有 ;(3)用形式分数 定义1：当（a，m）=1时，若ab 1(modm)，则记b (modm)称为形式分数。 根据定义和记号， 有性质 1、 2、（d，m）=1，且 ，则 利用形式分数的性质把分母变成1，从而求出一次同余式的解。;例：解一次同余方程 解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分数的性质，同余方程解为 ; ;下面给出k=2时的证明.;;下面我们给出模两两互素的情形，此时显然满足有解的条件，即 孙子