一类平面实三次系统关于一个变量下的不变代数曲线.docVIP

平面实二次系统关于一个变量下的线性不变代数曲线 对于平面多项式系统： （2.1.1） 其中P,Q是实系数互素的多项式，且。 定义2.1.1 设是关于系统（2.1.1）的一个不变代数曲线，有式子 （2.1.2） 其中k是一个多项式，则称k为关于f的余因子。 现考虑实二次系统 （2.1.3） 要找出系统（2.1.3）具有 （2.1.4） 的代数解，其中是互素且是一个不可约的代数解。 我们写，对于任何能满足的点，这类曲线中没有卵形曲线出现（若是有的话能在曲线找到两点和有然而这是不可能的因为是互素且是有理的）。 同样在实平面上该类曲线没有任何奇点（设使曲线的一个奇点，则，因此和得到而是互素矛盾）。 我们有如下的定理： 定理2.1.2：若有，对 于系统（2.1.3）所有的（2.1.4）这种形式的解得次数都小于或等于4且所有次数为4的此类型的解都是映射等价的，对于下面两个系统 （2.1.5） 其中a是一实参数有这样一个不变带式曲线且其余因子为。 （2.1.6） 其中a是一实参数有这样一个不变带式曲线且其余因子为。 记 注1：对作变换使得我们有有下面6种形式 若，我们可以一个线性变换使得系统（2.1.1）变为 （2.1.7） 定理2.1.3：考虑系统（2.1.7），记 （1）：若且则存在一个（2.1.4）这种形式的解，当，是一个Hemite多项式。 （2）：若设 且则存在一个（2.1.4）这种形式的解，当是一个次数为n广义拉盖尔多项式。 （3）：若设 且则存在一个（2.1.4）这种形式的解，当是一个次数为n广义拉盖尔多项式。 （4）：若设 且时且则存在一个（2.1.4）这种形式的解，当是一个雅可比多项式。 （5）：若设 且则存在一个（2.1.4）这种形式的解，当是一个雅可比多项式。 2．一类平面实三次系统关于一个变量下的线性不变代数曲线 对于一个特殊的三次系统： （2.2.1） 要找出（2.2.1）此系统的（2.1.4）这种形式的不变代数曲线解。研究其结构我们发现有如下的结论 定理2.2.1： （1） 时系统（2.2.1）有（2.1.4）这种形式的不变代数曲线解是一条直线。 （2）时若则系统（2.2.1）有（2.1.4）这种形式的不变代数曲线解是一条直线，若则系统（2.2.1）有（2.1.4）这种形式的不变代数曲线解是一条圆锥曲线。 证明：设是系统（2.2.1）的一特解，易得到此类形式的不变代数曲线的余因子的次数都小于或等于2，则其余因子为： 由余因子定义可得： （2.2.3） 代入求解得到（按y的升次幂排列得到）： （2.2.4） 方程中有： （2.2.5） 因，得到： 若则有得到为一个常数代入中有有代数曲线为一条直线。 若，有； 若时则有可推得又因为为多项式可得。 代入中可得到： ； 若，得到，有为一条直线。 若，则有， 得到为一条圆锥曲线。