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逻辑迭代的分岔与混沌 【学习重点】 1．学习数学迭代研究问题的方法。 2．加深对稳定性、不动点、周期解、倍周期分岔、混沌、周期窗口等概念的理解。 【实验仪器与装置】 编程软件、计算机 【实验原理与方法】 为了解非线性现象，建立一个动态系统，时间用n=0，1，2，……来表示，其中n=0代表初始时刻，于是迭代式 (1) 就是一个动力系统。由初始态X0可以确定以后的Xl，X2，……，即Xl=f(X0)，X2=f(X1)等等。以下我们取逻辑(Logistic)迭代，这是一个二次抛物线函数，具体形式为 (2) 式中Xn的初值在[0，1]之间，为动力系统的控制参数，且∈(0，4)，该模型可以作为一个最简单的非线性动力系统模型，系统的解随控制参量的增加经历周期解、倍周期分岔，直至混沌的过程。 一、不动点、稳定性 当在0~3的范围时系统有一个稳定的不动点。 对于(2)式，若取X0=0，则以后的一切Xn(n=1，2，3，……)都是0，说明“0”是(2)式的一个不动点，或称为平衡点，容易验证当0≤≤l时，不动点是稳定的，若初始值Xo不等于“0且小于1时，由方程(1．1)经过一定次数的迭代后，会给出稳定的解X=0，说明它是稳定的不动点。 当1≤3时，迭代式有两个不动点，分别为0和1－1/。用图示可以更直观地看出迭代过程，正如图1—1所显示的一系列的竖直线和水平线，这里控制参量。固定参量后，为了把每一次迭代的结果变成下一次的输入量，在图上画一等分角线，并通过它与映射函数之间作一次投影。取一个初值Xo，在图上不断作竖直线和水平线来实现迭代，得到一条轨线Xo，Xl，X2，X3，……，Xi，……，其中每个Xi是一个轨道点。图示表明只要初始条件即非0又非1－1/，则经过一定次数的迭代，出现的序列X1，X2，X3，……，将最终趋向1－1/。说明不动点1－1/是稳定的，而不动点0是不稳定的。 不动点及其稳定性的判据是： 若，则是一个不动点； 若，则不动点是稳定的； 若，则不动点是不稳定的。 对于一个物理系统，或者一个计算机模拟实验系统，不稳定平衡态是难于直接观察到的，因为初始值稍微偏离平衡值就会失稳，我们能观察到的只是当时间充分长时系统的稳定定态或定常解。 当≤3时，(1．2)式定常解值与控制参量之间的关系示意图如图1－2所示。从图中可以看出，与的关系在=l处有一个拐点。=l是的一个临界点，当值跨越=1时，发生一次分岔，从零值变为非零值，属于超临界分岔。 二、周期解、倍周期分岔 当在3～3.569区间时系统的解是各种2n周期的周期解。 当3时，系统的两个解(0，都失稳，将出现一个周期2的解。 例如=3．2时，两个不动点0及都不稳定，当时定常解将趋 向于下列的序列： 0.5130、0.7995、0.5130、0.7995、…… 或写成 这里 (1．3) 它们是方程的根，即 (1．4) 且 。 当时，系统的稳定解是一个周期4的解，=3．544时有稳定周期8的解，=3．564时，有周期16的解，……，等等。 如果我们将不动点看成是周期1的解，则上述过程可看成1分为2，2分为4，4分为8，8分为16，……，的分岔过程，该分岔过程受控于参量的值。这个过程称为倍周期分岔，或称为分频，有时也称为次谐波分岔。相应的分岔点的值记为，，……，，趋向于3.56994且间距比收敛到在倍周期分岔中具有普遍意义的费根鲍姆(Feigenbaum)常数，其值为4.6692 即 三、混沌、周期窗口 当在3.5699—4之间时，系统的定常解一般情况下是混沌解，即系统对初始条件十分敏感，得到的一般是似乎随机的时间序列。 但在这一区域中，并非全是混沌解而是存在很多定常周期序列，称为周期窗口。例如当，且小于3.841499区间内，系统的定常解是一个周期3的解。 应当指出周期窗口一般比较窄小，即的区域范围小，其中周期3的窗口是一个比较大的窗口，其次是在周期窗口中也同样存在着倍周期分岔序列，例如在周期3的窗口中着3×2n的倍周期分岔序列，这是一种自相似结构。 四、倒分岔 当=4时时的值从0到4的范围内连接成为一片，称为单片混沌。当的值从4逐渐减小时，开始时混沌区仍为单片，只是数值范围略小于0到1这个区间，但是当减小到某个值1=3．6786时，会由单片混沌变成两片混沌，每次迭代从其中一片跳至另一片，值继续减小，将相继发生2分为4，4分为8，8分为16等等，这就是倒分岔，各个倒分岔值，2，，……，，也将收