有理曲线和非有理曲线上群作用的几何熵.PDF

第２６卷第４期 江苏科技大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ．２６Ｎｏ．４ ２０１２年８月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） Ａｕｇ．２０１２ 有理曲线和非有理曲线上群作用的几何熵 王苏华 （江苏科技大学 张家港校区基础部，江苏 张家港２１５６００） 摘　要：用开覆盖方法给出几何熵的一个等价定义，并讨论了有理曲线和非有理曲线上群作用的几何熵问题．首先证明了 非有理曲线上存在几何熵为正数的有限生成幂零群作用，从而说明了“正则曲线上有限生成幂零群作用的几何熵必为零” 这一结论对于非有理曲线不成立．其次，我们给出一例说明有理曲线上存在几何熵为零的可解群作用． 关键词：有理曲线；非有理曲线；群作用；几何熵 中图分类号：Ｏ１８９１１　　　　　文献标志码：Ａ　　　　　文章编号：１６７３－４８０７（２０１２）０４－０４０１－０５ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙｏｆｇｒｏｕｐａｃｔｉｏｎｓｏｎｒａｔｉｏｎａｌａｎｄｎｏｎｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅｓ ＷａｎｇＳｕｈｕａ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓ，ＺｈａｎｇｊｉａｇａｎｇＣａｍｐｕｓ，ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＺｈａｎｇｊｉａｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２１５６００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙｉｓｇｉｖｅｎｂｙｕｓｉｎｇｏｐｅｎｃｏｖｅｒｓ，ａｎｄｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆｇｒｏｕｐａｃｔｉｏｎｓｏｎｒａｔｉｏｎａｌａｎｄｎｏｎｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅｓｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｔｉｓｓｈｏｗｎｔｈａｔｎｏｎｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅｓ ａｄｍｉｔｆｉｎｉｔｅｌｙｇｅｎｅｒａｔｅｄｎｉｌｐｏｔｅｎｔｇｒｏｕｐａｃｔｉｏｎｓｗｉｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｔｈａｔｅａｃｈ ａｃｔｉｏｎｏｆａｆｉｎｉｔｅｌｙｇｅｎｅｒａｔｅｄｎｉｌｐｏｔｅｎｔｇｒｏｕｐｏｎａｒｅｇｕｌａｒｃｕｒｖｅｈａｓｚｅｒｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙｄｏｅｓｎｏｔｈｏｌｄｆｏｒｎｏｎ ｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅｓ．Ａｎｅｘａｍｐｌｅｏｆａｓｏｌｖａｂｌｅｇｒｏｕｐａｃｔｉｏｎｗｉｔｈｚｅｒｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙｏｎａｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅｉｓｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅ；ｎｏｎｒａｔｉｏｎａｌｃｕｒｖｅ；ｇｒｏｕｐａｃｔｉｏｎ；ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｅｎｔｒｏｐｙ 　　作为衡量动力系统复杂性程度的工具，熵的研 个共轭不变量．文中希望对一维连续统上群作用的 究一直是动力系统研究中的重要问题之一．文献 几何熵作进一步讨论． ｎ ［１］首次对于紧致拓扑空间上的连续自映射引入 连续统是指连通的紧致度量空间．可嵌入Ｅ ｎ 拓扑熵的定义，拓扑熵可以用来反映单个映射在 的一维连续统可以分为以下３类．设Ｘ是Ｅ 中的 拓扑空间上的迭代作用的复杂性．关于这方面已 一维连续统．如果对任意小的 ＞０，在Ｘ中存在 ε 有许多重要结果．例如，众所周知，区间和圆周上 一个ｍｅｓｈ（）＜ （ｍｅｓｈ（）＝ｓｕｐ｛ｄｉａｍ（Ｕ）：Ｕ μ ε μ ∈ 的