微积分课件9-4利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分.ppt

柱面坐标系 利用柱面坐标计算三重积分 球面坐标系 利用球面坐标计算三重积分 小结 第四节 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分 规定： 注意：柱面坐标系就是平面极坐标系加上 轴. 一 柱面坐标系 柱面坐标与直角坐标的关系为 柱面坐标系的三坐标面是 圆柱面； 半平面； 平 面． 二 利用柱面坐标计算三重积分 　利用柱面坐标系的三组坐标面来分割积分区域，如图， 体积元素为 解 球面与抛物面交线为 把闭区域 投影到 面上 解 所围成的立体如图， 所以 三 球面坐标系 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面. 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， 四 利用球面坐标计算三重积分 球面坐标系中的体积元素为 解 与 例3 计算 其中 是 所围成的立体. 解 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的奇偶性． 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数 解 则 在球面坐标系下 为 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 五、小结 计算，其中是球面 与抛物面 所围的立体. 由 由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 例4计算,其中由和所围空间闭区域． 为,, ． 例5 计算 ，其中是锥面， 与平面 所围的立体. 解1 采用球面坐标 解2 采用柱面坐标 一般地，当积分区域 关于平面对称，且被积函数 是关于 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 是关于 的偶函数，则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 例6　利用对称性简化计算 其中积分区域. 例7 计算其中是球面所围成的空间闭区域. 其中是关于的奇函数, 且关于面对称, , 同理 是关于的奇函数, 且关于面对称,