关于微分几何Meusnier 定理的趣味争论.PDF

关于微分几何Meusnier 定理的趣味争论 管克英 （北京交通大学，理学院） 大约在1995-1996 年，中国《工程图学学报》在北航的一位编辑找到我，让我设法帮他们解 决一个学术争论。 该争论起因于北航一位博士生的论文稿件。在该论文中，那位博士生提出了一个在计算 机辅助设计中值得注意的问题，即两个光滑曲面在连续变化时，它们的交线的几何特性可能 发生非连续的突变。 为说明该问题，论文作者举出了如下的例子。图1，显示了一个水平放置的环面 图1 其中棕色 （圆周）曲线是环面的最高处，它是环面上的一条渐近曲线 （asymptotic curve ）（渐 近曲线的定义见后）。 在该渐近曲线上任选一点p，令 n 和 t 分别为环面在p 点的单位（外）法矢量和渐近 线在p 点的单位切矢量。通过n 和 t 做一个平面，该平面称为环面通过点p，沿方向t 的 法截面。该法截面与环面的交线称为法截线。图2 和图 3 从不同方向显示了法截面和法截 线。 图2 图3 不难看出（可以证明，这里略去），法截线在点p 的曲率为零。 顺便介绍曲面上的渐进方向和渐近线概念。 曲面上经过点p 沿某方向的法截线如果在 该点的曲率（法曲率）是零，该方向称为曲面的一个渐近方向 (例如上例中的矢量t)。如果 曲面上的一条曲线的切矢量都是曲面的渐近方向，该曲线称为曲面的一条渐近曲线。上述环 面上的棕色曲线即是环面的一条渐近曲线。 现在，改变过点p 与渐进方向t 的平面方向，使平面与曲面在p 点的法线之间有个夹角。 图4 和图5 从两个不同视角给出了夹角为 的一种情况。 图4 图5 其中图5 明显显示此时平面与环面的交线在p 点的曲率为零 （交线很直，接近直线）。 图6、图7 和图8，从三个不同视角给出了平面与法线夹角为 的一种情况。 图6 图7 图8 其中图6、图7 都明显显示平面与环面的交线在p 点的曲率为零，图8 则显示交线的另一部 分。 当过p 与t 的平面与环面的交角增大到 时，平面与环面的交线恰恰是环面过p 点的 渐近曲线。图9 显示了该交线，图10 则是翻过来看环面与平面的这一关系。 图9 图10 这时，平面与环面的交线在p 点的曲率就不再是零，而是等于棕色圆周半径的倒数。 以上现象表明当过p 与t 的平面与环面的交角开始由零连续增大时，交线在p 点的曲率 一直是零，但是当交角变到 时，该曲率的值发生突变。 北航的那个博士生正是用上例说明其观点的。他使用了微分几何中的梅尼埃（Meusnier） 定理证明了上例中当平面与法线的交角大于0 且小于 时，平面与环面交线在点p 的曲率