克莱姆法则和应用.DOC

第五节 克莱姆法则 分布图示 ★ 引例 ★ 齐次与非齐次线性方程组的概念 ★ 克莱姆法则 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 齐次线性方程组解的定理 ★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 内容要点 n元线性方程组的概念 从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n元线性方程组的概念。 含有n个未知数的线性方程组 称为n元线性方程组.当其右端的常数项不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 线性方程组(1)的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式，即 . 克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式, 则线性方程组(1)有唯一解,其解为 (3) 其中是把中第列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组(2)有非零解. 例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 解 由克莱姆法则, 例2 (E01) 用克莱姆法则解方程组 解 例3 设曲线通过四点、、、, 求系数 解 把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组 其系数行列式 而 类似地,计算得: 故由克莱姆法则,得唯一解 即曲线方程为 例4 (E02) 问为何值时, 齐次方程组有非零解? 解 齐次线性方程组有非零解，则所以 或时齐次线性方程组有非零解. 例5 设方程组 试问满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解. 解 显然,当互不相等时,该方程组有唯一解. 又 同理可得于是 课堂练习 1. 如果下列齐次线性方程组有非零解, k应取何值? 2. 判定齐次线性方程组是否仅有零解.