之非齐次线性方程组求通解.PPT

线性代数自考典型题型讲解 线性代数自学考试典型题型讲解 谢朝德 浙江金融职业学院 cdxie106@ * * 线性代数自考典型题型讲解 问题引入: 之非齐次线性方程组求通解 （2013年1月线性代数（经管类）自学考试试题第24题） 设四元方程组 ，问t取何值时该方程组有解？ 并在有解时求其通解. 根据性质1 和性质2可知 若 x = h* 是 Ax = b 的解， x = x 是 Ax = 0 的解，那么 x = x + h* 也是 Ax = b 的解． 设 Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r ． 于是 Ax = b 的通解为 h = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r +h* 性质1：若 h1， h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 x = h1 ? h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的解． 性质2：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解． Part 1: 非齐次线性方程组的通解 例：求线性方程组 的通解． 解：此线性方程组对应的齐次线性方程组为 Part 2: 应用举例 系数矩阵 即 同解齐次线性方程组为 例1：求线性方程组 的通解． 解（续）： Part 2: 应用举例 令 合起来便得到 的基础解系 得 其通解为 即 同解齐次线性方程组为 例1：求线性方程组 的通解． Part 2: 应用举例 解（续）： 增广矩阵 即 同解非齐次线性方程组为 令 得 所以 为原方程组的一个特解。 例1：求线性方程组 的通解． Part 2: 应用举例 解（续）： 于是，原方程组的通解为 Part 3: 问题解答 （2013年1月线性代数（经管类）自学考试试题第24题） 设四元方程组 ，问t取何值时该方程组有解？ 并在有解时求其通解. 解： 增广矩阵 同解非齐次线性方程组为 Part 3: 问题解答 解（续）： 所以t=7时，原方程组有解，此时 其导出组的同解齐次线性方程组为 令 得 其导出组的基础解系为 令 得 所以 为原方程组的一个特解。 Part 3: 问题解答 解（续）： 所以， 当t=7时四元方程组 有解， 其通解为 Part 4: 问题延伸 定理1：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 定理2：n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) n ． 由于零一定是齐次线性方程组的解，所以 Part 4: 问题延伸 例2： 已知方程组 存在非零解，则常数t=_____（2007年7月第17题） 解：根据定理2，2元齐次线性方程组存在非零解，所以系数矩阵的秩小于未知数的个数2。 所以系数矩阵的2阶子式等于0，即 所以t=2。