《导数的几何意义》ppt课件之二.pptVIP

* * 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 问题: 如图,当点 沿着曲线 趋近于点 时, 割线PPn的变化趋势是什么? 当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定的直线 PT 称为过点 P 的切线. 令 , 则 即当△x无限趋近于0时, kn无限趋近于点 处的斜率. P4 P3 P2 P1 T α x y o P y=f(x) x0 xn 例1 已知 , 求曲线 在 处的切线的斜率. 分析:为求得过点(2,4)的切线的斜率, 可从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手. 解: 设 , 则割线PQ的斜率 当 无限趋近于0时, 无限趋近于常数4, 即 从而曲线 在点P(2,4)处的切线斜率为4. 例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象. 根据图象, 请描述、比较 曲线 在 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. t o h l0 t0 t1 l1 t2 l2 t4 t3 (3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 例2 . 根据图象, 请描述、比较 曲线 在 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. t o h l0 t0 t1 l1 t2 l2 t4 t3 (3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢 练习： *