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7 微分法則與其在比較靜態分析之應用 7.微分法則與其在比較靜態分析之應用 7.1 單變數函數之微分法則 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 7.3 含多個變數函數之微分法則 7.4 偏微分 7.5 運用於比較靜態分析 7.6 關於賈可賓行列式 7.1 單變數函數之微分法則 A. 常數函數法則：常數函數 y＝f (x)＝ k之導數為零。 ? 函數之導數其幾何意義，為其曲線之斜率。 常數函數圖形，各點皆為零斜率之水平直線。 7.1 單變數函數之微分法則 B. 指數函數法則：指數函數 y＝f (x)＝ x n之導數為nxn-1，n為任意實數。 Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 7.1 單變數函數之微分法則 C. 指數函數法則之推廣（一般化）：指數函數前乘一常數C， ，其導數為： Ex 6. y＝2x Ex 7. y＝4x3 Ex 8 .y＝3x-2 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 和差法則 兩函數和（差）之導數為兩函數導數之和（差）： Ex 1. y = 14 x3，14 x3＝ 5 x3+ 9 x3，f（x）=5 x3，g（x）=9 x3。 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 Ex 2. Ex 3. 常數C與37實際上對導數不產生影響。 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 短期總成本函數 ?邊際成本 ?固定成本（75）不影響邊際成本。 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 對每一x值而言，其邊際函數（導數）乃為總函數於該x值之斜率。圖7.1a b 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 B. 乘積法則 兩函數乘積之導數等於：第一個函數乘以第二個函數之導數，再加上第二個函數乘以第一個函數之導數。 Ex 4. y =（2x +3）（3x2） 將此法則推廣及三個函數之情況 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 由 AR求MR 已知AR＝15-Q，求MR. 1. R＝AR×Q；MR＝dR/dQ. AR曲線實為產品需求曲線之反函數。 a.完全競爭市場裡的廠商微價格接受者?AR曲線為一水平線，MR-AR＝0。 b.不完全競爭下，廠商面對負斜率的需求曲線， ?MR－AR＜0。MR曲線必在AR曲線的下方。 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 2. 圖解（圖7.2）：當產出為N時，MR與AR之差距為 ＝OJ/OM＝JH/HG；HG＝N ? ＝JH。據此，直接於G點下取垂線距離KG＝HJ，則得K點必為MR曲線上之一點。 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 C. 商之法則 兩函數商f（x）/ g（x）之導數為 Ex 5 . Ex 6 Ex 7 7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 邊際成本與平均成本間之關係 ?若且唯若邊際成本高於，等於或低於平均成本，則平均成本曲線斜率為正、零或負數。如圖7.3。  7.2 含同一變數之兩個或多個函數之微分法則 E. MC與AC之關係 ( MVC=MC ) 令 7.3 含多個變數函數之微分法則 A. 連鎖法則（複合函數法則） 若函數z = f (y)，式中y又為另一個變數x之函數，即y = g (x)，則z關於x之導數等於，z關於y之導數乘以y關於x之導數。（可推廣及三個或更多函數之情況。） 7.3 含多個變數函數之微分法則 Ex 1. z =3y2，y=2x+5 Ex 2. z = y-3，y = x3 Ex 3. Ex 4. 已知廠商之總收益函數為R = f（Q） ，其中產出水準Q為勞動投入L之函數， Q = g （L），試求勞動之邊際產值函數（MRPL）（ ）。 7.3 含多個變數函數之微分法則 B. 反函數法則 若函數 y = f（x）有一對一之對應關係，則函數 f 有反函數 （讀作x 為y之反函數）。 7.3 含多個變數函數之微分法則 B. Inverse-Function Rule ： 若函數y=f (x )為1-1對應則f 有反函數，符號為f –1 7.3 含多個變數函數之微分法則 a. 單向遞增函數：已知函數 f（x），若自變數x持續增加，對應之 f（x）也愈來愈大。