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第五章 不定积分 １、不定积分的概念与性质 ２、换元积分法 ３、分部积分法 ４、有理函数的积分 §5.1 不定积分的概念与性质 1、不定积分的概念 2、不定积分的性质 3、基本积分表 疯狂操练 2. 若 3. 若 4. 求积分: 5. 求不定积分 * * 一、概念 1、原函数 例如 定义1 若在区间 上， 则称 为 在区间 上的一个原函数. 是 的一个原函数. 也是 的原函数. 问题 (1)何种函数具有原函数? (2)函数若具有原函数,怎样写出原函数? 结论: (1)若函数 在区间 上连续, 则存在可导函数 使 连续函数一定有原函数 (2)若函数 在区间 有一原函数 则 仍为 的原函数 (3)若函数 在区间 有一原函数 则 的 ( C为任意常数) 证 设 为 的任一原函数, 则 即 可表示为: 所有原函数 定义2 函数 的全体原函数, 记作: 积分号; 被积函数; 被积表达式; 积分变量. 若 则 的不定积分为： 的不定积分. 称为 2.不定积分的定义 例1 解: 例2.求 解. 例3 总之, 解 当 时, 当 时, 不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线, 称为积分曲线族. 3.不定积分的几何意义 曲线: 为任意常数 )在(x0 ,y0 )的切线 的斜率为f(x0) y o x 例4.设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程. 解 即 ，由题意知 又曲线通过点（1，2）， 此曲线的方程为 设所求曲线方程为： x y o 1 1 2 二、不定积分的性质 求不定积分的运算与求导数运算是互逆的. (1)、 (2) (3) 三、基本积分表 三、基本积分表 例5.求 解 例6.求 解 例7. 求 解 例8 求 解 解: 原式 = 练习一下 例9. 求 例10.求 解 提高题目 1. 若 (P191题4) 提示: 是 的原函数 , 则 提示: 已知 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意 其原函数为 提示: * *