方格取数.doc

方格取数 设有n*n的方格图（Ｎ≤８），我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字０。如下图所示（见样例）： 向右 　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 13 0 0 6 0 0 3 0 0 0 0 7 0 0 0 4 0 0 0 14 0 0 0 0 5 0 21 0 0 0 4 0 0 　　　向 6 0 0 15 0 0 0 0 0 　　　下 7 0 14 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 某人从图的左上角的Ａ点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的Ｂ点。在走过的路上，它可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字０）。此人从Ａ点到Ｂ点共走两次，试找出２条这样的路径，使得取得的数之和最大。 输入：输入的第一行为一个整数Ｎ（表示Ｎ＊Ｎ的方格图），接下来的每行右三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的０表示输入结束。 输出：只需输出一个整数，表示２条路径上取得的最大的和 分析：我们对这道题并不陌生。如果求一条数和最大的路径，读者自然会想到动态程序设计方法。现在的问题是，要找出这样的两条路径，是否也可以采用动态程序设计方法呢？回答是可以的。 1、状态的设计 对于本题来说，状态的选定和存储对整个问题的处理起了决定性的作用。 我们从（1，1）出发，每走一步作为一个阶段，则可以分成2*n-1个阶段： 第一个阶段，两条路径从（1，1）出发； 第二个阶段，两条路径可达（2，1）和（1，2）； 第三个阶段，两条路径可达的位置集合为（3，1）、（2，2）和（1，3）； ………………………… 第2*n-1个阶段，两条路径汇聚（n，n）； 在第k(1≤k≤2*n-1)个阶段，两条路径的终端坐标（x1，y1）（x2，y2 如果我们将两条路径走第i步的所有可能位置定义为当前阶段的状态的话，面对的问题就是如何存储状态了。方格取数问题的状态数目十分庞大，每一个位置是两维的，且又是求两条最佳路径，这就要求在存储上必须做一定的优化后才有可能实现算法的程序化。主要的优化就是：舍弃一切不必要的存储量。为此，我们取位置中的x坐标（x1，x2）作状态，其中 （1≤x1≤k）and（x1{1‥n}）and（1≤x2≤k）and（x2{1‥n}） 直接由x坐标计算对应的y坐标： （y1=k+1-x1）and（y1{1‥n}）and（y2=k+1-x2）and（y2{1‥n}） 2、状态转移方程 设两条路径在k阶段的状态为（x1，x2）。由（y1=k+1-x1）∧（y1{1..n}）得出第一条路径的坐标为（x1，y1）；由（y2=k+1-x2）∧（y2{1..n}）得出第二条路径的坐标为（x2，y2）。假设在k-1阶段，两条路径的状态为（x1’，x2’）且（x1’，x2’）位于（x1，x2）状态的左邻或下邻位置。因此我们设两条路径的延伸方向为d1和d2：di=0，表明第i条路径由（xi’，yi’）向右延伸至（xi，yi）；di=1，表明第i条路径由（xi’，yi’）向下延伸至（xi，yi）（1≤i≤2）。显然（x1’= x2’）∧（d1= d2），表明两条路径重合，同时取走了（x1’，y1’）和（x1，y1）中的数，这种取法当然不可能得到最大数和的。 分析两种可能： ⑴若x1=x2，x1状态，可取走（x1，y1）中的数(如下图)； x1’(x2’)→x1=x2 ↑ x2’(x1’) ⑵若x1≠x2，则在k阶段，第一条路径由x1’状态延伸至x1状态，第二条路径由x2’状态延伸至x2状态，两条路径可分别取走（x1，y1）和（x2，y2(如下图)； 设 f[k，x1，x2]—在第k阶段，两条路径分别行至x1状态和x2状态的最大数和。显然 k=1时，f[1，1，1]=0； k2时，f[k，x1，x2]=max{f[k-1， x1’x2’]+(x1，y1)的数字▏x1=x2 f[k-1， x1’x2’]+(x1，y1)的数字+(x2，y2)的数字▏x1≠x2} 1≤k≤2*n-1，x1’x1的状态集合，x2’可达x2的状态集合，（x1’≠x2’）∨(d1≠d2)；